矩形的判定(学案，有答案)

中小学教育资源及组卷应用平台 6.2.2 矩形的判定（学案，有答案） 列清单·划重点 知识点1 矩形的判定 1.定义法：有一个角是_____的平行四边形是矩形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 是矩形. 2.定理1：有_____是直角的四边形是矩形. 几何语言：如图所示， ∵_____＝_____＝_____＝ ∴四边形ABCD 是矩形. 3.定理2：对角线_的平行四边形是矩形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，且_____， 是矩形. 注意 判定矩形的两种基本思路： (1)四边形矩形. (2) 知识点2 解决矩形问题常添辅助线 1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形. 2.作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形. 明考点·识方法 考点1 用角判定四边形是矩形 典例1 如图,在中， ，D为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形.求证：四边形 ADCE 是矩形. 思路导析 先证四边形 ADCE 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得 则 即可得出结论. 变式 如图,在中,AF,BH,CH, DF 分别是与 的平分线,AF 与BH 交于点E,CH 与DF 交于点G,连接EG,FH,求证: 考点2 用对角线判定四边形是矩形 典例2 如图，已知在中，对角线AC,BD 相交于点O, (1)求证: 是矩形； (2)若 求对角线AC的长. 思路导析 (1)由等腰三角形的性质得 再由平行四边形的性质得 则 即可得出结论： (2)由矩形的性质得 再由含 角的直角三角形的性质求解即可. 变式 如图，已知四边形ABCD, 对角线AC，BD 相交于点O,点 E 是四边形ABCD 外一点. (1)求证:AC,BD互相平分; (2)若 请判断四边形 ABCD的形状，并给予证明. 考点3 矩形判定和性质的综合应用 典例3 如图,线段 DE与AF分别为 的中位线与中线. (1)求证:AF 与DE互相平分； (2)当线段 AF 与BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形 请说明理由. 思路导析 (1)根据线段中点的定义和三角形的中位线定理，可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；(2)当 时，四边形 ADFE 为矩形，根据三角形的中位线定理可得 从而可得AF=DE，然后利用(1)的结论即可解答. 变式 如图，在 中，延长 DC 至点 E,使连接 AE,交 BC 于点 F,连接AC,BE, . (1)求证:四边形 ABEC 是矩形; (2)求 的面积. 当堂测·夯基础 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB= CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 ( ) A. AB∥CD B. AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D 2.如图,用长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是_____. 3.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上,DF⊥AE于点 F,若EF=CE=1,AB=3,则线段AF 的长是_____. 第3题图 第4题图 4.如图,在矩形ABCD中,E,F 分别是边 AB,AD 上的动点,P 是线段 EF 的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H 为垂足,连接 GH.若AB=8,AD=6,EF=7,则GH的最小值是_____. 5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O 是边 AB 的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形 ABCD是矩形. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 1. 直角 90° 2.三个角 ∠A ∠B ∠C 3. 相等 AC=BD 【明考点·识方法】 典例1 证明：∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴AE∥BC,AE=BD, ∵D为BC 中点,∴CD=BD,∴CD∥AE,CD=AE,∴四边形 ADCE 是平行四边形， ∵AB=AC,D为BC 中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴平行四边形 ADCE 是矩形. 变式 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AF,BH分别平分∠DAB,∠ABC, ∴∠AEB=∠HEF=90°,同理,∠AFD=90°,∠DGC=90°, ∴∠HGF=∠DGC=90°,∴四边形 EFGH 是矩形,∴EG=FH. 典例2 解:(1)证明:∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB, ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD=AC,∴□ABCD 是矩形; (2)∵ ABCD是矩形,∴∠BAD=90°, ∵∠AOB=120°,∴∠ABD=∠OAB=30°,∴BD=2AD=8,∴AC=BD=8. 变式 解:(1)证明: ∴ ... ...