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课件网) 高中数学 人民教育-出卷网- A版 选择性必修 第二册 第四章 数列 4.4 数学归纳法（第二课时） 问题1 什么时候需要应用数学归纳法？ 数学归纳法一般被用于证明与正整数n有关的命题. 证明对任意的正整数n，等式 恒成立. 不必应用数学归纳法 难以应用数学归纳法 证明 (n∈N*)的单调性. 问题导入 追问1 追问2 即n=k+1时等式成立. 所以等式对一切自然数 均成立. 思考1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下： 证明：假设n=k时等式成立，即 那么n=k+1时 上述证法是正确的吗？为什么？ 问题导入 问题导入 上述证明是错误的，事实上命题 本身是错误的 当n=1时，左边=1，右边=0 左边≠右边 第一步是递推的基础 思考2：乙同学用数学归纳法证明 如采用下面证法，对吗？为什么？ 问题导入 第二步证明n=k+1时，必须用归纳假设 第二步要证命题“若P(k)（k∈N*，k≥n0）为真 则P(k＋1)也为真”. 方法归纳 问题2 怎样正确地使用数学归纳法？ 不能缺少第一步的验证； 用上假设，递推才真 合作探究 例2 用数学归纳法证明： ① 例2 用数学归纳法证明： ① 证明： （1）当n=1时，①式的左边=， 右边=，所以①式成立. （2）假设当时，①式成立，即 ， 在上式两边同时加上，有 即当n=k+1时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何都成立. 例题讲解 目标 例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 由 ，可得 由 可得 同理可得 归纳上述结果，猜想 ① 解： 例题讲解 例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n=1时， ①式的左边= ，右边=，猜想成立. （2）假设当时， ①式成立，即 那么 即当n=k+1时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立. 例题讲解 ① 例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列 1，1+x，，…，，…的前n项和为， 试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 例题讲解 例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列 1，1+x，，…，，… 的前n项和为，试观察比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法一： 由已知可得 当n=3时，， 由，可得 . 由此，我们猜想，当且时， 例题讲解 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立. （2）假设当 时， 不等式成立，即 由，可得 ，所以 于是 所以，当n=k+1时，不等式也成立 由（1）（2）可知，不等式 对于任何大于1的正整数n都成立. 例题讲解 当且时， 解法一： 例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列 1，1+x，，…，，… 的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法二： 显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是 当n=2时， ，由，可得 ； 当n=3时， ，由，可得 . 由此，我们猜想，当且时， 例题讲解 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立. （2）假设当时， 不等式成立，即 , 所以 于是 所以，当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立. 例题讲解 当且时， 由，可得 ，所以 问题3 通过本节课，你有哪些收获？ 什么时候需要应用数学归纳法 怎样正确地应用数学归纳法 课堂小结 作业布置 课后作业 1.用数学归纳法证明：-1+2-5+...( 2.若数列，，，...，，...的前n项和为,计算 由次推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明。 谢谢！ ... ...
