第8章 排列与组合 考点过关(原卷版+解析版)2024-2025下学期期中、期末复习过关练【中职专用】(高教版2021·拓展模块一下册)

1．排列与排列数 （1）排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． （2） 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示． （3）排列数公式的两种形式： P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. P＝. （4）全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 2．组合及组合数 （1）组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． （2）组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． （3）排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP （4）组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. （5）组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 3．排列与组合的区别与联系 排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列问题的基本思路是“先选，后排”． 4．解排列、组合题的基本方法 (1)限制元素(位置)优先法： ①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素； ②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置． (2)正难则反排异法： 有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉． (3)复杂问题分类分步法： 某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步． (4)相离问题插空法： 某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间． (5)相邻问题捆绑法： 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”———将“捆绑”元素在这些位置上作全排列． (6)相同元素隔板法： 将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段，共有C种放法．这是针对相同元素的组合问题的一种方法． (7)定序问题用除法： 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数． 考点一 排列数的计算 【例1】若，则 . 【变式】已知，则（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例2】计算（ ） A． B． C． D． 【变式】计算的结果是（ ） A．10 B．16 C．28 D．56 【例3】已知，则 . 【变式】 ． 考点二 排列问题 【例1】下列问题是排列问题的是（ ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【变式】下列问题是排列问题的是（ ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有 ... ...