云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题(含详解)

云南省丽江市第一高级中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题 一、单选题（本大题共9小题） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A．2 B． C．1 D．4 3．已知向量，，若，则的值为 A． B．4 C． D． 4．若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A．与 B．与 C．与 D．与 6．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A．32 B．31 C．17 D．15 7．已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 8．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（ ） A．， B．，8098 C．， D．，4049 二、多选题（本大题共3小题） 10．在三棱锥中，，则（ ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．为偶函数 B． C．在有且仅有2个极值点 D．的对称中心为， 12．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（ ） A． B．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C．过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D．为定值，定值是 三、填空题（本大题共3小题） 13．函数的图象在点处的切线方程为 ． 14．在等差数列中，为数列的前n项和，若，求 ． 15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为,，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题（本大题共5小题） 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，且三角形的面积为，求的周长l． 17．已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，． (1)证明：平面平面． (2)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值． 19．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 20．已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 参考答案 1．【答案】A 【详解】因为，， 则， 所以. 故选A. 2．【答案】B 【详解】因为， 所以. 故选B. 3．【答案】C 【详解】依题意，解得，故选C. 4．【答案】B 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，则， 又因为，则，因此，该椭圆的离心率为. 故选B. 5．【答案】C 【详解】易知，有三个零点 因为为二次函数，所以，它有两个零点 由图像易知，当时，； 当时，，故是极小值 类似地可知，是极大值. 故答案为C. 6．【答案】D 【详解】在正项等比数列数列中， ... ...