7．4.2 二项式系数的性质及应用 一、 单项选择题 1 (2024青岛月考)在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为( ) A. 32 B. －32 C. 0 D. 1 2 32 022除以10的余数是( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 9 3 (2024泰州月考)(x2＋)6的展开式中系数最大的项为( ) A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第2项或第3项 4 若(1＋2x)(1－x＋x2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a1＋a2＋…＋a21的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5 (2024金华期末)若(1＋x)(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＋a3＋a5的值为( ) A. －1 B. 2 C. 1 D. 0 6 (2024秦皇岛月考)已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则a3的值为( ) A. 240 B. －240 C. 280 D. －280 二、 多项选择题 7 已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021，则下列结论中正确的是( ) A. 展开式中所有项的二项式系数之和为22 021 B. 展开式中所有奇数项系数之和为 C. 展开式中所有偶数项系数之和为 D. ＋＋＋…＋＝－1 8 (2024苏州期中)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且存在正整数n，满足a1＋2a2＋…＋nan＝321，则下列结论中正确的是( ) A. n＝6 B. a1＋a2＋…＋an＝119 C. (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开式中所有项的系数之和为126 D. (1＋2x)n展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 三、 填空题 9 若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则常数项为_____． 10 (2024莆田月考)满足S＝a＋C＋C＋C＋C＋…＋C(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值为_____． 11 (2024西安月考)若(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝_____． 四、 解答题 12 在二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1) 求展开式的第4项； (2) 求210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C的值． 13 (2024咸阳月考)已知f(x)＝(2x＋3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x＋3)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n. (1) 求a1＋a2＋a3＋…＋an的值； (2) 求a2的值； (3) 求证：f(17)＋5能被6整除． 7．4.2 二项式系数的性质及应用 1. D 由题意，C＋C＋…＋C＝2n＝32，解得n＝5，则二项式(－)5的所有项的系数之和为(－)5＝1. 2. D 32 022＝(10－1)1 011＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…＋C10－C＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…－C102＋1 010×10＋10－1＝10(C101 010－C101 009＋C101 008－C101 007＋…－C10＋1 010)＋9，故32 022除以10的余数是9. 3. B (x2＋)6的展开式通项公式为Tr＋1＝C(x2)6-r()r＝x12-3r，设第r＋1项为系数最大的项，则有解得≤r≤，即r＝2.故系数最大的项为第3项． 4. C 令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋…＋a21＝3，所以a1＋a2＋…＋a21＝2. 5. C 令x＝1，得(1＋1)(2－1)5＝2＝a0＋a1＋a2＋…＋a6；令x＝－1，得(1－1)(2＋1)5＝0＝a0－a1＋a2－…＋a6，故(a0＋a1＋a2＋…＋a6)－(a0－a1＋a2－…＋a6)＝2－0＝2，即2(a1＋a3＋a5)＝2，故a1＋a3＋a5＝1. 6. D 令x＝，得(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，即(1－m)7＝－128＝(－2)7，故m＝3，即(2x－m)7＝(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7.又[－1－2(1－x)]7展开式的通项为Tk＋1＝C(－1)7-k[－2(1－x)]k＝(－1)7-k(－2)kC(1－x)k.令k＝3，得T4＝(－1)4×(－2)3×C(1－x)3＝－280(1－x)3，所以a3＝－280. 7. ABD 对于A，二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝22 021，故A正确；对于B，令x＝－1，得32 021＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021①，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 02 ... ...
