13.3.2 三角形的外角 【教学目标】 1.理解三角形的外角的概念. 2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,能运用三角形外角的性质解决简单问题. 3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯. 【重点难点】 重点:1.理解三角形的外角的概念. 2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 难点:掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 教师出示问题:在一次飞机模型的设计大赛上,李东与王师傅在做最后的准备工作,其中需要一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别等于32°和21°,李东量得∠BDC=148°,话音刚落,王师傅就脱口而出:这零件不合格. 教师:聪明的同学,你知道王师傅的判断依据是什么吗 通过这节课的学习,我们就可解决上面问题. 二、探究归纳 活动一: 探索三角形外角的特征 【问题】 1.三角形内角和为_____.在△ABC中,若∠A=35°,∠ABC=80°,则∠C=_____. 2.如图,在上题图中,若将边CB延长至D,则可以得到一个新角_____,这个角还是三角形的内角吗 概念:三角形内角的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角. 教师要求学生按照对外角概念的理解在纸上画出三角形的外角,并进行点评. 巩固练习:(1)∠1是哪个三角形的外角 (∠1是△ABD的外角.) (2)∠2是哪个三角形的外角 (∠2是△PDC的外角) 点拨:三角形的外角的三个特征:(1)顶点在三角形的一个顶点上.(2)一条边是三角形的一条边.(3)另一条边是三角形的某条边的延长线.三角形每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角. 根据不同的结果,提出:一个三角形有多少个外角 每个外角与内角有什么关系 活动二:探索与证明三角形的外角的性质: 【问题】三角形的外角与内角有什么关系 首先,从相等关系出发,观察我们最熟悉的这个三角板: 发现:(1)∠ACD+∠ACB=180°(相邻), 点拨:位置关系:外角与它相邻的内角互为邻补角. 数量关系:三角形的一个外角与它相邻内角的和是180° (2)三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间有何关系 ∠ACD=∠A+∠B(不相邻). 即:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 活动三:证明三角形外角的性质 【问题】思考:如何说明∠ACD=∠A+∠B 你能写出证明过程吗 解:方法1:如图,因为∠ACD+∠ACB=180°(邻补角的定义), 所以∠ACD=180 °-∠ACB, 又因为∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),所以∠A+∠B =180 ° -∠ACB,所以∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 方法2:如图,过点C作CE∥AB.因为CE∥AB (已作), 所以∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等), ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等). 所以∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B(等量代换). 其他方法: 总结:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.这是三角形内角和定理的推论. 2.推论是由定理直接推出的结论,和定理一样,推论可以作为进一步推理的依据. 【拓展】(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. (2)符号表示:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 活动四:例题讲解 【例1】 如图,D是∠ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°.AD平分∠BAC. 求:(1)∠B的度数.(2)∠C的度数. 分析:(1)先由三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD,再由∠ADC=80°,∠B=∠BAD即可得出∠B的度数. (2)直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数. 解:(1)因为∠ADC是△ABD的一个外角, 所以∠ADC=∠B+∠BAD, 又因为∠ADC=80°,∠B=∠BAD, 所以∠B=∠ADC=×80°=40°. (2)在△ABC 中,因为∠BAC+∠B+∠C=180°, 所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-70°=70°. 【例2】 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证:AD∥BC. 分析:由角平分线定义可得∠C=∠EAC,再 ... ...
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