第2课时 异面直线 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.理解并掌握异面直线的判定定理,及掌握异面直线的判断方法. 2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系. 3.理解异面直线所成的角,并掌握两异面直线所成角的求法. 1.异面直线的判定定理 文字 语言 ,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 图形 语言 符号 语言 若l α,A α,B∈α,B l,则直线AB与l是异面直线 2.异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a,b 作法 经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b 结论 我们把直线a'和b'所成的 叫作异面直线a,b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则 图例 特殊 情况 若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作 |微|点|助|解| 对异面直线所成角的认识 (1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关. (2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算. (3)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成的角是0°,则这两条直线平行,不可能异面. (4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直. 基础落实训练 1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c ( ) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 2.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为 . 3.已知正方体ABCD EFGH,则AH与FG所成的角是 . 题型(一) 异面直线的判定 [例1] 已知正方体ABCD A1B1C1D1,E,F分别为BB1,CC1的中点,求证:直线AE与直线BF是异面直线. 听课记录: [针对训练] 1.已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD与BC是异面直线. 题型(二) 求异面直线所成的角 [例2] 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA1=3AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 听课记录: |思|维|建|模| 求异面直线所成角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角———用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求———转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角. (3)结论———设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求. [针对训练] 2.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 ( ) A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1所成的角为60° 3.正方体ABCD A'B'C'D'中,E,F分别为平面A'B'C'D'与平面AA'D'D的中心,则EF与CD所成角的度数是 . 题型(三) 证明两条直线垂直 [例3] 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG=2,GE=,EF=3.求证:AC⊥BD. 听课记录: |思|维|建|模| 证明两条直线垂直的策略 (1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明. (2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明. [针对训练] 4.在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF. 第2课时 异面直线 课前预知教材 1.过平面内一点与平面外一点的直线 2.锐角(或直角) 0°<θ≤90° a⊥b [基础落实训练] 1.B 2.解析:因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°. 答案:60° 3.解析:连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为 ... ...
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