专项 3 二次函数与线段长、图形面积的综合 类型 1 线段的最值问题 方法指导 1.求斜线段 ，竖直线段 长的最值的步骤（如图）： ①设点 ( , 2 + + )， ( , + )， ( , + ) ; ②表示线段 ， 的长： 2 = ( )2 + ( 2 + + )2 ， = 2 + + ； ③化简 ， ，利用二次函数的性质求最值. 2.求线段之和（周长）最小：根据二次函数图象的对称性，作对称点，结合“将军饮马”模型求 最值. 3.求线段之差最大：将两定点转化到定线的同侧，当两定点与动点共线时，线段之差最大. 8/40 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 与 轴的交点分别为 和 (1,0)（点 在 点 的左侧），与 轴交于点 (0,3)，点 是直线 上方抛物线上一动点. （1）求抛物线的解析式； （2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 + 的最 大值及点 的坐标. 9/40 2.如图，已知抛物线过点 (0,0)， (5,5) ，且它的对称轴为直线 = 2 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限，当△ 的面积为 15 时，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，若 是抛物线上的动点，当 的值最大时，求点 的坐标以及 的最大值. 10/40 类型 2 面积的最值问题 方法指导 1.铅垂法：对于斜置于平面直角坐标系中的三角形，常将其进行“横切”或“竖切（”平行于坐标轴） 分割成两个三角形，再进行面积计算.如图 1，作 ⊥ 轴交 于点 ,则 △ = △ + 1 1 △ = = ( ) ( ) . 2 2 2.割补法：将所求图形分割成以坐标轴为底的多个三角形或修补成矩形（边与坐标轴平行） ， 然后利用图形面积公式进行和（差）计算即可.如图 2，连接 ,则 △ = 四边形 △ = △ + △ △ . 3.平移法：一般过三角形某顶点作与另外两点构成线段的平行线，利用 “平行线间的距离处处 相等”，转化为求同底等高的三角形的面积.如图 3，过点 作 // 交 轴于点 ，连接 ,则 + △ = △ .特别说明：当点 的横坐标为 时， 2 △ 最大. 11/40 3.如图，抛物线 = 2 + + 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其中 (1,0)， (0,3) . （1）求抛物线的解析式. （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点 ，使得△ 的面积最大.若存在，请直接写出点 的坐标和△ 的面积的最大值；若不存在，请说明理由. 1 4.已知平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 = 2 + + 与 轴交于 ， 两点， 2 与 轴的正半轴交于点 ，且 (4,0), = 4 √2 . （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 是抛物线在第一象限内的一点，连接 , ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，交 于点 ，记△ ,△ 的面积分别为 1， 2 ，求 1 2 的最大值. 12/40专项 3 二次函数与线段长、图形面积的综合 类型 1 线段的最值问题 方法指导 1.求斜线段 ，竖直线段 长的最值的步骤（如图）： ①设点 ( , 2 + + )， ( , + )， ( , + ) ; ②表示线段 ， 的长： 2 = ( )2 + ( 2 + + )2 ， = 2 + + ； ③化简 ， ，利用二次函数的性质求最值. 2.求线段之和（周长）最小：根据二次函数图象的对称性，作对称点，结合“将军饮马”模型求 最值. 3.求线段之差最大：将两定点转化到定线的同侧，当两定点与动点共线时， 线段之差最大. 11/77 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 与 轴的交点分别为 和 (1,0)（点 在 点 的左侧），与 轴交于点 (0,3)，点 是直线 上方抛物线上一动点. （1）求抛物线的解析式； 解：把 ( , )， ( , )的坐标分别代入 = + + ， + + = , = , 得{ 解得{ = , = , ∴ 抛物线的解析式为 = + . （2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 + 的最 大值及点 的坐标. 在 = + 中，令 = ，得 = + ， 解得 = 或 = ，∴ ( , ) . 由 ( , )， ( , )易得直线 的解析式为 = + . 设 ( , + )，则 ( , )， ( , + ) ，其中 < < ， ∴ + = ... ...
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