1.2 矩形的性质与判定 第1课时 素养目标 1.知道矩形的定义、性质,知道矩形是轴对称图形. 2.知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,能利用这个性质和矩形的性质进行有关计算,能运用矩形的性质进行合理推理与证明. ◎重点::矩形的定义与性质,矩形性质的应用. 【预习导学】 知识点一：矩形的定义 阅读教材本课时“想一想”前面的内容,回答下列问题. 矩形的定义:有一个角是 的平行四边形是矩形. 知识点二：矩形的性质 阅读教材本课时“想一想”至“议一议”前面的内容,回答下列问题. 1.矩形的性质: (1)矩形是特殊的平行四边形,具有一般的平行四边形的性质: . (2)矩形的四个角都是 . (3)矩形的对角线 . (4)矩形是 图形. 2.矩形的性质推论: 直角三角形斜边上的中线等于 . 1.如图,由矩形的性质可知AC= ,由矩形具有一般平行四边形的所有性质可知OD= ,OA= ,所以OD= . 2.如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边上的中线,若CD=2,则AB= . 【合作探究】 任务驱动一：已知在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,△AOB与△AOD的周长之和为34,AO=5,求矩形ABCD的周长. 变式训练 如图,在矩形ABCD中,AF=DE.求证:BE=CF. 任务驱动二：如图,把矩形ABCD沿EF翻折,若∠1=50°,则∠AEF等于 ( ) A.110° B.115° C.120° D.130° 变式训练 如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在点A'处. (1)求证:B'E=BF. (2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明. (3)四边形B'FBE是菱形吗 为什么 方法归纳交流 折叠隐含相等的线段和角,注意勾股定理在矩形中的应用. 如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且∠DAF=∠BCE. (1)线段AF与CE有什么关系 请说明理由. (2)连接AC,若AC平分∠FAE,∠DAF=30°,CE=2,求CD的长. 参考答案 【预习导学】 知识点一 直角 知识点二 1.(1)对边平行且相等,对角相等,矩形的对角线互相平分 (2)直角 (3)相等且互相平分 (4)轴对称 2.斜边的一半 对点自测 1.BD OB OC AC 2.4 【合作探究】 任务驱动一 解:∵△AOB与△AOD的周长之和是34, ∴AB+AO+BO+DO+AO+AD=34. 在矩形ABCD中,AC=BD,AO=AC,DO=BO=BD,BO=DO=AO=5,∴AB+AD=14,∴AB+BC+CD+DA=2(AB+AD)=2×14=28, ∴矩形ABCD的周长等于28. 变式训练 证明:∵AF=DE,∴AE=DF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=90°,AB=DC, ∴△BAE≌△CDF,∴BE=CF. 任务驱动二 B 变式训练 解:(1)证明:连接BE,由折叠图形的轴对称性可知,B'F=BF. 又∠B'FE=∠BFE=∠B'EF, ∴B'E=B'F,从而可得B'E=BF. (2)第一种关系:a2+b2=c2.证明:由折叠可知BE=B'E,由(1)知B'E=BF=c,∴BE=c.在△ABE中,∠A=90°,∴AE2+AB2=BE2.∵AE=a,AB=b, ∴a2+b2=c2. 第二种关系: a+b>c.证明:由折叠可知BE=B'E.由(1)知B'E=BF=c,在△ABE中,AE+AB>BE,∴a+b>c. (3)是.由(1)(2)可知B'F=BF=B'E=BE,∴四边形B'FBE是菱形. 素养小测 解:(1)AF∥CE且AF=CE. 理由:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC. 又∵∠DAF=∠BCE, ∴△DAF≌△BCE(ASA), ∴AF=CE且DF=BE,∴AE=CF, ∴四边形AECF是平行四边形, ∴AF∥CE且AF=CE. (2)∵AF=CE=2,∠DAF=30°,∠D=90°, ∴FD=1. ∵AC平分∠FAE,∴∠FAC=∠EAC. ∵FC∥AE,∴∠FCA=∠FAC=∠EAC, ∴AF=CF=2, ∴CD=DF+CF=3. ... ...
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