增分微课9 利用数列递推关系解决概率问题 例1 解:(1)记该顾客第i(i∈N*)次摸球抽中奖品为事件Ai.依题意知P1=,P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.当n≥2时,P(An|An-1)=,P(An|)=,Pn=P(An),且P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P()P(An|),即Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+(n≥2),所以Pn-=-(n≥2),又因为P1-=-,所以数列是首项为-,公比为-的等比数列, 所以Pn=-. (2)当n为奇数时,Pn=-<.当n为偶数时,Pn=+,此时Pn随着n的增大而减小,所以Pn≤P2=.综上,该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 变式题 解:(1)依题意,每一个顶点有3个相邻的顶点,其中两个在同一底面,所以当点Q在下底面时,随机移动一次仍在下底面的概率为,当点Q在上底面时,随机移动一次回到下底面的概率为,所以P1=,P2=×+×=. (2)Pn+1=Pn+(1-Pn)=Pn+,所以Pn+1-=Pn-=,又因为P1=,所以P1-=-=≠0,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以Pn-=×=,则Pn=+,若Pn>,则+>,所以3n<1012,又36=729,37=2187,n∈N*,所以n≤6,故n的最大值为6. 例2 解:(1)“跳子”开始在第1格为必然事件,则P1=1;第一次掷硬币出现反面,“跳子”前进到第2格,其概率为,即P2=;第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面,“跳子”前进到第3格,其概率为+×=,即P3=. (2)(i)证明:由(1)知,P1=1,P2=.“跳子”前进到第n(3≤n≤9)格的情况是下面两种,而且只有两种: ①“跳子”先到第n-2格,掷硬币掷出正面,其概率为Pn-2; ②“跳子”先到第n-1格,掷硬币掷出反面,其概率为Pn-1.∴Pn=Pn-2+Pn-1,则Pn-=- (Pn-1-Pn-2),又P2-P1=-≠0,∴数列{Pn-Pn-1}(2≤n≤9)是以-为首项,-为公比的等比数列. (ii)由(i)得,Pn-Pn-1=(2≤n≤9),∴Pn=(Pn-Pn-1)+(Pn-1-Pn-2)+…+(P2-P1)+P1=++…++1==(2≤n≤9),∴P8=×=, ∴P10=P8=. 变式题 解:(1)甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分,记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为P'(0),P'(1),P'(2),则P'(0)=,P'(1)=×=,P'(2)=×=.经过4轮游戏,甲的累计积分为4分的所有可能情况如下:4轮中甲掷2轮,且每轮积分均为2分;甲掷3轮,且3轮的积分情况为2,1,1;甲掷4轮,且每轮积分均为1分.所以经过4轮游戏,甲的累计积分为4分的概率P=××+×××+×=. (2)(i)证明:记“累计积分之和为n+2”为事件An+2,“累计积分之和为n+1”为事件An+1,“累计积分之和为n”为事件An, 则P(n+2)=P(An)P(An+2|An)+P(An+1)P(An+2|An+1)=P(n)+P(n+1),则P(n+2)-P(n+1)=-[P(n+1)-P(n)],又P(1)=,P(2)=+×=,P(2)-P(1)=≠0,所以{P(n+1)-P(n)}是首项为,公比为-的等比数列. (ii)由(i)得,当n≥2时,P(n)-P(n-1)=×=,P(n-1)-P(n-2)=,…,P(2)-P(1)=,累加得P(n)-P(1)=++…+=,因此P(n)=(n≥2),当n≥5且 n为奇数时,P(n)=是递增的,且P(n)<,当n≥5且n为偶数时,P(n)=是递减的,且P(n)>,则当n=6时,P(n)最大,所以甲选择6分对自己最有利. 例3 解:(1)由题知,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=. (2)证明:不妨令绳头编号为1,2,3,4,…,2n,其中1,2是同一根绳子的两个绳头,若这n根绳子打结后恰好能围成一个圈,则与绳头1打结的绳头有(2n-2)种可能,假设绳头1与绳头3打结,那么相当于对剩下(n-1)根绳子进行打结.设n(n∈N*)根绳子打结后可围成一个圈的打结方法有an种,经过一次打结后,剩下(n-1)根绳子打结后可围成一个圈的打结方法有an-1种,由此可得,an=(2n-2)an-1,n≥2,所以=2n-2,以此类推得=2n-4,…,=2,所以=(2n-2)×(2n-4)×…×2=2n-1·(n-1)!(n≥2),又a1=1,所以an=2n-1·(n-1)!(n≥2).当n=1时,也满足上式,所以an=2n-1·(n-1)!. 在2n个绳头中任意取2个绳头打结,共有N== = (种)打结方法,所以所求概率P===. 变式题 [解析] 从2n张卡片中选取3张卡片的选法共有种,手中这3张卡片中含有2张相 ... ...
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