高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.3.1 抛物线及其标准方程 一、单选题 1.已知点，直线，点是上的动点。若过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ） A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 2.(2025山西太原五中月考)已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 3.(2025湖北重点高中联考协作体联考)已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4) 4.(2024黑龙江鸡西十九中期中)焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5.(2025湖南长沙期中)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A. B.3 C. D. 6.(2025陕西榆林期中)设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 二、多选题 7.已知，则方程与在同一坐标系内表示的曲线可能是（ ） A.椭圆与抛物线 B.双曲线与抛物线 C.两条双曲线 D.椭圆与直线 8.(2024黑龙江哈尔滨德强高级中学月考)经过点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9.(2025江苏盐城五校期中联考)已知抛物线的焦点为，是经过焦点的弦，是线段的中点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.是线段的一个三等分点 D. 三、填空题 10.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为_____。 11.(2025江苏常州田家炳高级中学期中)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为_____。 12.若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为_____。 四、解答题 13.动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程。 14.(2025江西南昌期中)将抛物线绕坐标原点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，求的值；若进一步，设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以点为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，求的取值范围。 15.(2024江苏宿迁沭阳期中)一隧道内设有双行线公路，其截面近似由一长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米。已知行车道的总宽度为8米，即米。 (1)计算车辆通过隧道时的限制高度； (2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道。 一、单选题 1.答案：D 解析：根据抛物线的定义———平面内到定点与定直线的距离相等（定点不在定直线上）的点的轨迹为抛物线。 已知点（定点），直线（定直线），点在的垂直平分线上，故。 因轴且在上，即为到直线的水平距离，即到定直线的距离。 综上，到定点的距离等于到定直线的距离，符合抛物线定义，故点的轨迹是抛物线。 2.答案：A 解析：抛物线的核心性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（定义推论）。 焦点坐标为，准线方程为； 点到焦点的距离为6，故（点到准线的距离为横坐标加），解得； 准线方程为。 3.答案：B 解析：先由抛物线过点求参数，再确定焦点坐标。 抛物线过点，代入得，即，解得； 抛物线的焦点在轴正半轴，坐标为，代入得焦点。 4.答案：D 解析：根据焦点位置确定抛物线标准方程形式： 焦点在轴负半轴，对应抛物线标准方程为（，为焦点到原点的距离）； 此处，故方程为。 5.答案：C 解析：利用抛物线定义转化距离，结合“两点之间线段最短”求最小值。 抛物线的焦点，准线方程为； 由定义，点到准线的距离等于，故所求距离和为； 当、、三点共线时，最小，即； 计算。 6.答案：C 解析：同理利用抛物线定义转化，结合“点到直线的垂线段最短”求最小值。 抛物线的焦点，准线方程为； 由定义，等于到准线的距离，故等于到准线的距离； 当在过且垂直 ... ...
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