高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.3.2 抛物线的简单几何性质 一、单选题 1.（2025湖南长沙市一中月考）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2.(2025陕西榆林期中)已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3.（2025北京房山区期末）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为5和3，则的值为（ ） A.1 B.2 C.1或9 D.2或9 4.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（ ） A.4 B.6 C.8 D.16 5.(2025安徽阜阳太和中学月考)已知抛物线的焦点为，为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B.1 C. D.2 6.（2025黑龙江龙东联盟联考）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7.（2025辽宁大连联考）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为2，为上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A.的坐标为 B.若，则周长的最小值为11 C.若，则的最小值为 D.在轴上不存在点，使得为钝角 8.(2025四川成都模拟)已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则的值可取为（ ） A.1 B.2 C.9 D.18 9.(2025江西部分高中期中联考)已知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，与轴交于点，与在第一、四象限内的交点分别为，坐标原点为，则下列结论正确的是（ ） A.若轴，则 B.若轴，则 C. D. 三、填空题 10.（2025重庆八中期中）已知抛物线的离心率为，焦点坐标为，则抛物线的标准方程为_____。 11.(2024江苏常州联盟学校期中)已知为坐标原点，，为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的取值范围是_____。 12.（2025江苏南通三校联考）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构。如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为_____m。 四、解答题 13.(2025广东中山一中段考)已知抛物线的准线方程为。 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，求弦长。 14.(2024陕西西安期中)已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且。 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程。 15.（2025河南南阳六校联考）已知圆。 (1)若直线平分圆，求的最小值； (2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值。 一、单选题 1.答案：D 解析：抛物线顶点在原点、对称轴为轴，标准方程为（），核心性质：顶点到准线的距离为。 已知顶点到准线距离为4，故，解得，因此，抛物线标准方程为。 2.答案：A 解析：抛物线（）的定义推论：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（准线方程）。 设，则（到准线距离为横坐标加）； 又在抛物线上，故，即； 联立与，得，化简为，解得； 准线方程为。 3.答案：C 解析：抛物线（）的对称轴为轴，点到对称轴距离为3，故的纵坐标为，代入抛物线得（为的横坐标）。 点到准线距离为5，由定义得，联立与，得： 解得或。 4.答案：C 解析：抛物线的焦点为，倾斜角的直线斜率，直线方程为。 联立直线与抛物线方程： 设、，由韦达定理得。 焦点弦长公式：（），故。 5.答案：A 解析：抛物线的焦点，准线。的周长，其中（定值），故需最小化。 由定义，到准线的距离，故到的距离。当在过且平行于轴的直线（）与抛物线的交点时，距离和最小，此时。 计算的面积：以为底，到直线的距离（高）为1，面积。 6.答案：B 解析：设正三角形的一个顶点为（，因抛物线开口向左），另一个顶点为（对称于轴）。 边长为，两对称顶点间距为，由正三角形性质得， ... ...
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