简单的分段函数 教学设计—2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

简单的分段函数 【教学目标】 1.了解分段函数的定义；能够从简单的实际问题中抽象出分段函数解析式；会画分段函数的图像；会研究分段函数的简单性质； 2.经历由实际问题抽象出数学解析式的过程，让学生更加深入的感悟分段函数的特征；通过例题与课堂练习加深对分段函数概念、图像的理解与认识； 3.通过分段函数的研究过程，提升学生用数学知识解决实际问题的能力，体会数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的重要性. 【教学重点】分段函数的定义、性质；分段函数的图像. 【教学难点】分段函数的图像及由实际问题抽象出数学解析式. 【教学方法】教师启发讲授，学生通过讨论、练习进行探究式学习. 【教学手段】PPT演示、投影仪. 【核心素养】数学抽象，逻辑推理，数学建模. 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： （1）通过多种形式了解分段计价的一些实例； （2）收集家里近三个月的电费缴纳单，观察具体的收费标准，探求其中规律，尝试用学过的函数知识，建立缴纳电费与用电量之间的函数关系式. 课上通过小组交流，发现每家的电费收取标准都是一样的，由于用电量不同，每月缴纳的电费也不同，但电费却与用电量之间有着某种关系。为了数据统一，结合具体实际，给出例题： 例6 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100false，按0.57元/（false）计费；每月用电量超过100false，其中100false仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（false）计费． (1)设月用电falsefalse，应交电费false元，写出false关于false的函数解析式； (2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 月份 1 2 3 合计 计费金额/元 114 75 45.6 234.6 问：小赵家第一季度共用电多少？ 带领学生认真读题，理解如何从实际问题抽象出数学模型，启发学生思考.通过小组讨论的形式，引导学生共同写出电费与用电量之间的函数关系式. 预案：不同的用电量，对应着不同的电费收取方式，对应到函数关系就是当自变量false取值范围不同时，有不同的false的表达式，所以要分开写. 归纳总结：从函数观点看，就是对于自变量的不同取值范围，函数有不同的解析式表达. 【设计意图】由生活情境引入新课，激发学生兴趣. 二、归纳探索，形成概念 电费在用电量的不同范围内会有不同的变化规律，用函数来表示时，对于自变量的不同取值范围也就有不同的解析式。 1.实例引导，形成概念 观察例6题目条件，由小组回答解题思路. 预设：能够写出用电量不超过100false时的表达式false，但是对于超过100false时，还需要进一步的引导. 解答：当false时，月电费=100false的电费+超过100false部分的电费，即为false. 两段都表示用户月电费与用电量之间的关系，因此它们是一个函数，合起来用大括号表示为false 归纳总结（分段函数的定义）：在自变量的不同取值范围内，函数由不同的解析式给出，这种需要分段表达的函数叫做分段函数，它是一个函数，而不是几个函数,只不过自变量在不同的取值范围内有不同的对应法则. 2.深化概念，理性认识 问题1：有了第一问的基础，大家对于第二问的解答是否已经有了想法？ 分小组解答，给出答案. 解答：由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100false；当电费超过57元时，说明月用电量超过100false .因此用电量应使用函数的不同关系式来计算． 因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即false，false，分别算出1月份用电138false，2月份用电112 false；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有false，算出3月份用电80false. 因此，小赵家第一季度共用电330false. 问题2：若小赵家7月份用电量为150false，他应该交多少电费？ 预设：代入第二个表达式进行求解. ... ...