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课件网) 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 第三章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①掌握抛物线的几何性质及其简单应用． ②掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． ③掌握抛物线中的定值与定点问题． 学习重难点 重点： 抛物线的简单几何性质及其应用． 难点： 直线与抛物线位置关系的判断． 课堂导入 1.抛物线四种形式的标准方程及其性质： 1.相离(个交点)； 2.相切(个交点)； 3.相交(个交点,个交点). 当直线与双曲线有一个公共点时,有两种情形: (1)直线与双曲线相切; (2)直线与双曲线的渐近线平行. 2.直线与圆锥曲线的位置关系： (1)当直线斜率存在时：设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于的方程 . ②当时,则有 判别式 位置关系 公共点情况 直线与抛物线_____ _____ 直线与抛物线_____ _____ 直线与抛物线_____ _____ 相交 两个 相切 一个 相离 没有 ①当时，此时直线与抛物线的对称轴_____，直线与抛物线相交， 只有_____公共点, 但不相切. 一个 平行或重合 交点 交点 切点 无 探究直线与抛物线的位置关系： 直线与抛物线只有一个公共点 是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 归纳小结: 直线与抛物线交点问题的解题思路 判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二次项系数是否为0.若二次项系数为0，则直线与抛物线有且仅有一个交点；若二次项系数不为0，则该方程为一元二次方程,可利用根的判别式判断方程解的个数; 典例解析 定值与定点问题的求解策略: 1.要证某个量为定值,可先将该量用某变量表示,若通过变形化简能消去此变量,则可证得结论成立. 2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法: (1)通过方程判断; (2)对参数取几个特殊值探求出定点,再证明此点在直线上; (3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值; (4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等. 归纳总结 评价反馈 1.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,|AB|=2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为 ( ) A. B. C. D. 解析 由AB垂直于x轴，设A（x，y），则B（x，-y），故|AB|=2|y|=2,得|y|=.代入抛物线方程y2=2x,得x=1,故线段AB所在直线的方程为x=1,抛物线的焦点坐标为（,0）,则焦点到直线AB的距离为1-. A 2.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是 . 解析 由得x2-8x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=x1+x2-4=4,故线段AB的中点坐标为(4,2). (4,2) 评价反馈 3.设直线y=2x+b与抛物线y2=4x交于A,B两点,已知弦AB的长为3,求b的值. 解 由消去y,得4x2+4(b-1)x+b2=0. 由Δ>0,解得b<. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1-b,x1x2=. 可得|x1-x2|=. 则|AB|=|x1-x2|==3, 可得1-2b=9,解得b=-4. 评价反馈 4.过抛物线y2=2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A,B两点. 求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; (2)直线AB过定点. 证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x0,y0). (1)由题意,得kOA=,kOB=. ∵OA⊥OB, ∴kOAkOB= =-1,∴x1x2+y1y2=0. ∵=2px1,=2px2, ∴+y1y2=0. ∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=-4p2,∴x1x2=4p2. (2)由=2px1,=2px2, 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2). 当x1≠x2时, kAB , ∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1). ∴y=+y1-. ∵=2px1,y1y2=-4p2, ∴y=(x-2p). ∴直线AB过定点(2p,0). 当x1=x2时,由x1x2=4p2,x1x2＞0,得x1=x2=2p,直线AB过定点(2p,0).综上,直线AB过定点(2p,0). 课堂小结 1.求与抛物线有关的定点问题的步骤 课堂小结 2.求与抛物线有关的定值问题的步骤 课堂小结 3.解决与抛物线有关的最值问题的思路 求抛物线最值的常见题型是 ... ...
