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课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量基本基本定理 数学 学习目标 ①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解． ②会用空间三个不共面向量作为基底表示空间中任意向量． ③体会向量方法在解决立体几何问题中的作用． 复习引入-平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量，有且只有一对实数λ1 ， λ2 ，使 . 不共线 a＝λ1e1＋λ2e2 任一 若e1，e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注:由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示 问题:类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a, b, c来表示呢 e1 e2 A = = λ1e1＋λ2e2 λ1e1 λ2e2 探究一 空间向量基本定理 O P Q 如图，设 i， j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量，设为在i， j所确定的平面上的投影向量，则 = + ． 又向量, k共线，因此存在唯一的实数z 使得= zk (共线向量定理)， 从而，在i， j所确定的平面α上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得. 从而= + zk= . 探究一 空间向量基本定理 O P Q 思考1：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的i，j，k，你能得出类似的结论吗 故可得如下结论 如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 = 我们称分别为向量在i，j，k上的分向量. 探究一 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 = O P Q = a 探究二 基底与基向量 由空间向量基本定理可知: 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底, a，b，c 都叫做基向量. 注:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 探究二 单位正交基底与正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用，表示由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量均可以分解为三个向量, 使= 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. O P Q i ①单位正交基底: ,其中 三个基向量两两垂直，且长度都为1 ②正交分解: = . 【例题1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a+b，b+c，c+a}能否作为该空间的一个基底 解 (方法1)假设有一组实数x，y，z，使得x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0，即(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c=0， 因为a，b，c不共面，所以x+z=0，x+y=0，y+z=0，解得x=y=z=0，所以a+b，b+c，c+a不共面， 所以可以作为空间的一个基底. (方法2 反证法) 假设{a+b，b+c，c+a}不能作为空间的一个基底. 则存在实数x，y使得a+b=x(b+c)+y(c+a)， 即(1-y)a+(1-x)b-(x+y)c=0， 所以此方程组无解， 因此假设不成立，故{a+b，b+c，c+a}能作为空间的一个基底. 【例题2】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4， ADAB=60°， BA=60°， DA=60°，M，N分别为D1C1，C1B1，的中点. 求证MN⊥A. 选取基底(不共面且已知长度夹角) 用基向量表示相关向量 把相关向量的运算转化为基向量的运算得到向量问题的解 得到向量问题的解 还原为几何问题的解 设a ，b ， c，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们可以用它们表示， 则= + a b , + + = a +b+c =· =0 a b c 【例题3】 j 如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为1，E,F,G分别为 ， （1）求证:EF∥AC； （2）求CE与AG所成角的余弦值. 证明：（1）设 ∵ ∴ i ... ...
