(
课件网) 1.4. 1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 第一章 空间向量与立体几何 数学 学习目标 ①用向量语言描述线线、线面、面面垂直的关系． ②用向量语言证明直线、平面垂直的相关判定定理． ③用向量语言解决立体几何直线、平面垂直的相关问题． 1.如何用空间向量表示空间中的直线与平面？ 2.上节课我们讨论了几种平行关系？用空间向量是如何解决的？ (1)线→点+方向向量 (2)平面→点+法向量 (1)线线平行： (2)线面平行： (3)面面平行： 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 问题1 由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？ 如图(1)所示，设直线l1, l2的方向向量分别为 则 α (1) l1 l2 问题2 由直线与平面垂直的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 如图(2)所示， 设直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 α (2) l A B C 问题3 由平面与平面垂直的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ 如图(3)所示， 设平面α, β的法向量分别为 则 α (3) β m 例1 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1. 证明 设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底, 且=a+b-c,=b-a,=c. ∵AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°, ∴a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=1×1×cos 60°=. 在平面BDD1B1上,取为基向量,则对于平面BDD1B1上任意一点P,存在唯一的有序实数对{λ,μ},使得=λ+μ. ∴=λ+μ =λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=λ(-a2+b2-b·c+a·c)+μ(a·c+b·c-c2)=λ（-1+1-）+μ（-1）=0.∴是平面BDD1B1的法向量. ∴直线A1C⊥平面BDD1B1. 用向量法证明线面垂直的步骤 （1）利用线线垂直： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； ③判断直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. （2）利用平面的法向量： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②求出平面的法向量； ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知:如图,l⊥α,l β,求证:α⊥β. 证明:取直线l的方向向量u,平面β的法向量n. 因为l⊥α,所以u是平面α的法向量. 因为l β,而n是平面β的法向量, 所以u⊥n.所以α⊥β. 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得到面面垂直. 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 例3 如图,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD. 证明 (方法1)设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,存在实数λ,μ,使m=λ+μ. 令=a,=b,=c,显然它们不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2.以它们为空间的一个基底, 则=a+c,a+b,=a-c, 于是m=λ+μ=λ(a+c)+μ（a+b）=（λ+μ）a+μb+λc, 则·m=(a-c)·[(λ+μ)a+μb+λc]=4(λ+μ)-2μ-4λ=0, 所以⊥m,即AB1与平面A1BD内的任意直线都垂直. 故AB1⊥平面A1BD. (方法2)取棱BC的中点O,则AO⊥BC.取棱B1C1的中点O1,则OO1∥BB1.所以OO1⊥平面ABC.所以OO1⊥AO,OO1⊥BC. 因此以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示. ... ...
