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课件网) 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 第一章 空间向量与立体几何 数学 ①理解运用向量运算求解空间距离问题的原理． ②能应用空间向量法解决距离问题． ③理解用空间向量解决立体几何中距离问题的步骤． 学习目标 问题1 :观察加油站的设计图, 大家找找里面蕴藏哪些距离问题，这些问题又可以抽象成哪些数学模型？ 点、直线、平面 位置关系 度量问题 立体几何 平行 垂直 距离 夹角 空间向量 思考1：构成空间几何体的基本元素是点、线、面，这些几何元素能产生几种距离？ 两点距 点线距 点面距 线线距 线面距 面面距 用 垂 直 刻 画 点到平面的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 1.空间两点之间的距离 已知空间中任意两点， 则 所以 思考2：如何利用空间向量解决这些距离问题呢？ 空间中两点间距离 向量的模 空间中点线距、点面距 投影向量，勾股定理 例1 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, AD=1, AA1=3, ∠BAD=∠BAA1= ∠DAA1=60°, 求AC1的长. 解 设=a,=b,=c, 则由题意可知=a+b+c, ||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+a·c)=4+1+9+2+3+6=25, 故AC1的长为5. 2.点到直线的距离 思考3：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ 追问1：与有何关系？ 是在直线上的投影向量， 且 追问2：. . 追问3：若直线的方向向量为,如何求？ 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为 . 答案 解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, ∴A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2), ∴||=, ∴直线EF的单位方向向量u=(1,-2,1), ∴点A到直线EF的距离d=. 追问4：如何求两条平行直线之间的距离 求两条平行直线之间的距离,可在其中一条直线上任取一点,则两条平行直线间的距离就等于点到直线的距离. 两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解. m l P d 追问1：如图，已知平面外一点，如何用空间向量求点到平面的距离？ α Q d P 3.点到平面的距离 思考4:类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 例3 如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离. 解 如图,建立空间直角坐标系Cxyz.连接AC，DB. 由题设知C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2), =(2,-2,0), =(-2,-4,2), 设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z), ∵n⊥,n⊥,∴ ∴n=（,1）,=(2,0,0), ∴d=故点B到平面EFG的距离为. 借助向量求点P到平面α的距离的步骤. (1)求平面α的法向量; (2)选择参考向量; (3)求参考向量在法向量上的投影向量的长度. 思考5：类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ 点到平面的距离 4.直线与和它平行平面的距离 5.两个平行平面之间的距离 d=，其中n 是平面α的法向量 例4 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点. (1)求证:B1C∥平面A1BD; (2)求直线B1C到平面A1BD的距离. (1)证明 如图，连接AB1交A1B于点E,则E是AB1的中点,连接DE.因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,又DE 平面A1BD,B1C 平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD. (2)解 因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系, 则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 所以 取z=1,则x=3,y ... ...
