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课件网) 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第3课时 第一章 空间向量与立体几何 数学 学习目标 ①掌握用向量方法解决立体几何问题的思想和一般步骤． ②理解如何求解直线上的相关动点坐标． ③综合运用“基底法”“坐标法”“综合法”解决立体几何问题． 学习重难点 重点： 如何让立体几何问题合理转化为向量问题来进行求解． 难点： 解决立体几何问题时,如何运用综合法和向量法． 立体几何 空间向量 点、直线、平面 位置关系 度量问题 垂直 平行 距离 角度 前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题. 解决立体几何问题时,如何运用综合法和向量法 某种礼物降落伞的示意图如图所示,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的垂线的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 思考: 1.降落伞在匀速下落的过程中，8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系？ 2.降落伞在匀速下落的过程中，8根绳子拉力的总和与礼物重力有什么关系？ 3.如何用向量方法解决这个问题？ 8根绳子的拉力总和与礼物重力的关系是大小相等，方向相反. 【例题1】 解： ∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N. 某种礼物降落伞的示意图如图所示,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的垂线的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 【例题1】 又降落伞匀速下降， 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z G 解： 【例题2】 (1)证明 如图,连接AC,交BD于点G,连接EG,由正方形ABCD可得AG=GC. 因为E是PC的中点, 所以PA∥EG, 又因为PA 平面EDB,EG 平面EDB, 所以PA∥平面EDB. B C D A P E F x y z 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2) 求证: PB⊥平面EFD; 【例题2】 依题意得P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,,),则() =(1,1,-1),()=(0,). 故=0+-=0.所以PB⊥DE. 由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,EF 平面EFD,DE 平面EFD,所以PB⊥平面EFD. B C D A P E F x y z (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. 【例题2】 (3)解 已知PB⊥EF,由(2)可知PB⊥DF,故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角. 设点F的坐标为(x,y,z),则=(x,y,z-1).因为 =k, 所以(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k), 即x=k,y=k,z=-k+1, 由（2）可知·=(1,1,-1)·(k,k,1-k)=3k-1=0,所以k=,点F的坐标为(,,),又点E的坐标为(0,),所以(,)，所以 即cos∠EFD= 所以∠EFD=60°, 即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°. 【例题3】 如图,二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,求平面α与平面β的夹角. 解 由题图可知=++, 所以|=+++2·+2·+2· 因为⊥,⊥, 所以·=0,·=0, 因为AB=4,AC=6,BD=8,CD=2, 所以68=36+16+64+0+0+2·6·8·cos<,>, 所以平面α与平面β的夹角是60°. 即cos<>=-, 所以<>=120°, 即<,>=60°, 解 由图可知=++, 则||2=2+2+2+2·+2· +2·, 于是有1=8+1+8+(-2)+0+2·8·cos< ,>,可得cos< >=-, 所以异面直线AN与CM所成角的余弦值是. 1.通过本节的学习，向量方 ... ...
