2026 年湖南省长沙市雅礼中学理科实验班自主招生数学试卷 (一) 一、填空题: (每小题 5 分, 共 50 分) 1. 计算: _____. 2. 已知实数 满足 ，则 的平方根是_____. 3. 若 ，那么 的最小值等于_____. 4. 如图，在 中，高 和 交于点 ，且 ，则 _____. 5. 四条边长分别为 的梯形的面积是_____. 6. 已知实数 满足 的最小值为_____. 7. 平面上的 条直线恰有 2011 个交点,则 的最小值为_____. 8. 从长为 1、2、3、4、5 的 5 条线段中任取 3 条，能构成钝角二角形的概率是_____. 9. 如图，在 中， ， ， 是 内一点， ， ， ，则 的面积是_____. 如图所示,直径为 的一个圆盘没有任何滑动的沿一个直径为 的铁环的内侧滚动,当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了_____。 二、解答题: 11. (10 分) 已知 为正整数，关于 的方程 的两个实根为 ，关于 的方程 的两个实根为 ,且 ,求 的最小值. 12. (10分)已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限内交于点 ，其中一次函数的图象过点 和 . (1)求反比例函数的解析式； (2)请问在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点坐标； 若不存在,请说明理由. 13. ( 15 分) 如图， 是 的外接圆，点 是它的内心，射线 、 各交对边于点 、 ，射线 、 各交 于点 . 求证: . 14. (15 分) 如图, 与 外切于点 ,以直线 为 轴, 为坐标原点,建立平面直角坐标系, 在 轴上方的两圆的外公切线 与 相切于点 ,与 相切于点 ,直线 与 轴交于点 , 若 . (1)求终过 三点的抛物线的解析式; (2)若 ，求证: ； (3)如图，设直线 (1)中的抛物线相交于 、 两点，且线段 被 轴平分，求:当 时, 的面积. 2026 年湖南省长沙市雅礼中学理科实验班自主招生数学试卷(一) 参考答案 一、填空题: (每小题 5 分, 共 50 分) 1. 解: 原式 . 故答案为: . 2. 解: 已知实数 满足 , , , 的平方根为 . 故答案为: . 3. 解: , , 不妨设 ,建立平面直角坐标系,连接 ,过点 作 轴于点 ,如图所示: 那么 , ,作点 关于 轴的对称点 ,连接 交 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,如图所示: , 当 三点共线时, 最短,最小值为 , 由题意可得: , , 故答案为: 13 . 4. 解: 为锐角三角形, 高 和 在三角形内. 高 和 交于点 , . , , 又 , (AAS), ， ， . 故答案为 5. 解:给出 4 条线段分别为 1、2、3、4，因为要构成梯形需满足一定条件, 如图所示: 过点 作 交 于 , ， ，， 若 ， 则 , ， 此时不能构成三角形,也就不能组成梯形, 同理可得,只有当 时,才能组成梯形, 过点 作 ,过点 作 , , , , , , . 故答案为: . 6. 解: 实数 满足 , 的符号为两负一正, 设 ,则 , 由 ,得 . 由条件可得 , . . , 故表达式为 . 令 ,则所求式子 . 证明均值不等式,当 时, , , (当 仅当 时等号成立), 由均值不等式, , 等号成立当且仅当 ,即 . 此时所求式了最小值为 , 故 的最小值为 , 故答案为: . 7. 解: ,且 为整数) 条直线在同一平面内两两相交时,最多有 个交点, , 当 时,最大交点数为: , 当 时,最大交点数为: , 的最小值为 64 . 故答案为: 64 . 8. 解: 从 5 条线段中任取 3 条,共有 10 种可能组合: , , 其中能构成三角形的组合有 , 由勾股定理的逆定理可知: 当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时, 三角形为直角三角形, 当三角形中较小的两边的平方和小于第二边的平方时,三角形为钝角三角形, , 构成的是钝角三角形, 能构成钝角三角形的概率是 . 故答案为: . 9. 解: 由题意可得: ,连接 , , 为等腰直角三角形, , , , 为直角三角形, , , , 点 在同一直线上, 过点 作 ,则 , 的面积为 , 故答案为: . 10. 解: 圆盘在铁环内侧滚动时,其圆心的运动轨迹是一个圆,半径为 “铁环半径 - 圆盘半径”,即 , 圆心轨迹的周长 (即圆盘滚动的距离) 为 , 圆盘的周长为 , 无 ... ...
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