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课件网) 第二篇 图形与几何 第五章 四边形 第21讲 矩形、菱形与正方形 1. 了解矩形、菱形、正方形的定义及与平行四边形的内在关系. 2. 掌握矩形、菱形、正方形的判定与性质. 类型一 矩形的性质与判定 例1 （1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O. ①求证：△AOM≌△CON； 【答案】（1）①证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO. ∵矩形ABCD，∴AB∥CD即AM∥CN，∴∠AMO＝∠CNO，∠MAO＝∠NCO. 在△AOM和△CON中， ∴△AOM≌△CON. ②若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE＝ . （2）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ B ） A. AB＝CD B. AC＝BD C. AB＝BC D. AC⊥BD B 【解后感悟】 1. 矩形的判定有三条：①三个角是直角的四边形；②有一个角是直角的平行四边形；③对角线相等的平行四边形. 2. 由已知中的垂直与矩形的直角构成基本图形. 1. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P是AB上的一个动点（点P与点A，B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连结EF. （1）四边形PECF的形状是 矩形 . （2）线段EF的最小值为 . 矩形 2 类型二 菱形的性质与判定 例2 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE. （1）若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是 16 . （2）若OE＝3，则菱形的周长是 24 . （3）若∠ABC＝60°，菱形周长是16，则菱形的面积是 8 . 16 24 8 【解后感悟】 熟记各种特殊几何图形，利用性质揭示图形的数量关系是解题关键. 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ＝ .线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为 1∶3 . 1∶3 类型三 正方形的性质与判定 例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是 ①②③ . ①BC＝AC； ②CF⊥BF； ③BD＝DF； ①②③ ④AC＝BF. 【解后感悟】 正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质.正方形的判定方法有两条道路：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是正方形；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是正方形. 3. 如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连结AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ C ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 C 【课本改编题】 把一张矩形纸片按如图1所示折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ 问题解决：如图1所示，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A'，折痕为DE，点E在AB上.求证：四边形AEA'D是正方形. 【答案】【问题解决】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA'＝90°，由翻折可知，∠DA'E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA'＝∠DA'E＝90°，∴四边形AEA'D是矩形，∵DA＝DA'，∴四边形AEA'D是正方形. 规律探索：由“问题解决”可知，图1中的△A'DE为等腰三角形.现将图1中的点A'沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图2所示，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由. 【答案】【规律探索】△PQF是等腰三角形.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形. 结论应用：在图2中，当QC＝QP时，将矩形纸片 ... ...
