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课件网) 第二篇 图形与几何 第四章 三角形 第17讲 三角形与全等三角形 1. 了解三角形的定义及有关概念. 2. 掌握三角形的性质、中位线定理. 3. 掌握两个三角形全等的判定与性质及应用（线段垂直平分线性质定理和角平分线性质定理）. 类型一 三角形的三边关系 例1 （1）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 （2）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条（ B ） C B A. 0根 B. 1根 C. 2根 D. 3根 【解后感悟】 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形具有稳定性. 1. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为 5 . 5 类型二 三角形的内角、外角的性质 例2 如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC. 已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：∠APC＝2∠B. 【答案】证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠B，∴∠APC＝∠PAB＋∠B＝2∠B. 【解后感悟】 1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2. 如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝ ∠CBD；在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB 、外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝ ∠E1AB，∠E2BD＝ ∠E1BD……以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En的度数为 （ m）° . （ m）° 类型三 三角形的角平分线、中线、高线和中位线 例3 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高线，∠B＝30°，∠C＝80°，BE＝2，AF＝3，填空： （1）AB＝ 6 . （2）∠BAD＝ 35° . （3）∠DAF＝ 25° . （4）S△AEC＝ 3 . 6 35° 25° 3 【解后感悟】 理解三角形的角平分线、中线和高线；三角形内角和定理.揭示三线构建图形之间的联系. 3. 如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 5＋5 . 5＋5 4. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4 cm，则该工件内槽宽AB＝ 8 cm. 8 类型四 三角形全等的判定 例4 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是 乙和丙 . 【解后感悟】 1. 三角形全等判定的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL. 2. 注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 乙和丙 5. 【活动探究】我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为 2 . 2 或 类型五 三角形全等的性质 例5 如图，已知A，B，C三点在同一条直线上，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③ ＝ ；④∠EAD＝∠ECD. 其中正确的是（ B ） B A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【解后感悟】 全等三角形对应边、对应角相等. 【反思研究题】 模型建立 （1）如图1所示，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD. 用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）DE＋CD＝AE. 理由如下：∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠CBD＝∠C＋∠CBD＝90°，∴∠ABE＝∠C. ... ...
