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课件网) 第四篇 综合与实践 第九章 数学思想方法运用 第36讲 方程与函数思想 1. 解决函数综合问题时，注意数形结合，以及在函数、方程、不等式之间的灵活转化. 2. 解决几何综合问题时，常从面积关系、勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解. 3. 解决生活中实际问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解. 4. 对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题. 类型一 运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题 例1 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3 ，则AD＝ ＋1 . 【解后感悟】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形. ＋1 1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，以CD为直径的☉O与边AC交于点E，连结BE，AB＝BE，tan∠ACB＝ ，☉O的直径为4，则BD＝ . 类型二 运用函数思想求解方程、不等式问题 例2 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x＋a）（x－a－1），其中a≠0. （1）若函数y1的图象经过点（1，－2），求函数y1的表达式. 【答案】（1）函数y1的图象经过点（1，－2），得（a＋1）（－a）＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函数y1的表达式为y1＝（x－2）（x＋2－1），化简，得y1＝x2－x－2；或函数y1的表达式为y1＝（x＋1）（x－2），化简，得y1＝x2－x－2，综上所述：函数y1的表达式为y1＝x2－x－2. （2）若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式. 【答案】（2）当y＝0时，（x＋a）（x－a－1）＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的图象与x轴的交点是（－a，0），（a＋1，0），当y2＝ax＋b经过（－a，0）时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y2＝ax＋b经过（a＋1，0）时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.综上所述，b＝a2或b＝－a2－a. （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围. 【答案】（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝ ＝ ，∴当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤ ；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得 ＜x0＜1，综上所述：x0的取值范围为0＜x0＜1. 【解后感悟】 二次函数关系式转化为方程，解第（1）题的关键是利用待定系数法；解第（2）题的关键是把点的坐标代入函数表达式；解第（3）题的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏. 类型三 运用方程思想求解几何动点问题 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t（s）（0＜t＜2），连结PQ. （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值. 【答案】据勾股定理得BA＝ ＝10.（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时， ＝ ，∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴ ＝ ，解得t＝1；②当△BPQ∽△BCA时， ＝ ，∴ ＝ ，解得t＝ ；∴t值为1或 时，△BPQ与△ABC相似. （2）连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值. 【答案】据勾股定理得BA＝ ＝10.（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示，则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，易证△ACQ∽△CMP，∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得t＝ . 【解后感悟】 由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已 ... ...
