(
课件网) 第一部分 教材梳理 考点通关 模型7 圆中常见辅助线作法 类型1 遇弦过圆心作垂线或连半径 1.作弦心距:在解与弦有关的计算或证明题时，常见辅助线的作法是作弦心距. 2.连半径:解与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证 明时，常见辅助线的作法是连半径. 3.既作弦心距又连半径:解与半径和弦都有关的计算时，常见辅助线的作法 是既作弦心距又连半径，再利用勾股定理来解决. 例1 如图，为的直径，，是圆上的两点，且平分 ，过 点作延长线的垂线，垂足为 . （1）求证：是 的切线； 【解题思路】连接，只要证明 即可解决问题； 证明：如图，连接 . ， . 又 ， ， . ，，是 的切线； （2）若的半径为2，，求弦 的长. 【作答区域】 【解题思路】作，易知，.在 中， 求出 的长即可解决问题. 解：如图，过点作于点，则 . 又 ， 四边形 为矩形， . 在中， ， 弦 的长为 【解题技巧】本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、矩形的判定和性 质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线. 1.如图，的直径，直线，垂足为，且交于 ， 两点，，直线平移多少厘米时能与 相切？ 解：如图，连接 ， ，垂直平分 ， . ， ， 在中， . ， . 答：直线向左平移，或向右平移时能与 相切. 2.直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图， 若油最大深度为16厘米.那么油面宽度 的长是多少厘米？ 解：如图，连接，作于点，则 . 在中， （厘米）， （厘米）， （厘米）. 厘米. 类型2 遇直径添加直径所对的圆周角 1.遇到有直径时常添加直径所对的圆周角.作用：利用圆周角的性质得到直 角或直角三角形. 2.构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆 （或直径）所对的圆周角是直角”这一性质. 例2 如图，为的直径，点为的中点，交延长线于 点. （1）求证： ； 【解题思路】证明， 即可得出结论； 证明：连接 ，如图， 为 的直径， ，即 ， 点为 的中点， ， ， ； （2）若，，求 的直径. 【作答区域】 【解题思路】设交于点，证明四边形 是矩形，设 ，利用勾股定理即可求解. 解：设交于点 ，如图， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ，即 的直径为5. 【解题技巧】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定 理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题. 如图，是的直径，是的一条弦，于点，连接 . （1）若 ，求 的度数； 解： ， ， ， 是的直径， ， ， ， 故的度数为 ； （2），的延长线相交于点，是的切线，交于点 ，若 ，求证： . 证明：如图，连接， ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， . 类型3 已知切线和切点，连圆心和切点得到垂直 遇到有切线时添加过切点的半径（连接圆心和切点）. 作用：利用切线的性质定理可得半径和切线垂直，得到直角或直角三角形. 例3 如图，已知是的切线，切点为，连接交于点 ，若 ，长为2，求 的长度. 【作答区域】 【解题思路】利用切线的性质再结合等腰直角三角形的性质得出 的长， 进而得出答案. 解：连接 ，如图. 是的切线，切点为 ， ， ， 是等腰直角三角形， 长为2， ， 则 ， 故 . 【解题技巧】考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出 是等腰直 角三角形是解题关键. 1.如图，，分别与相切于，两点， 是 圆上一点，连接，，若 ，则 的 度数为（ ） A A. B. C. D. 2.如图，是的切线，为切点，连接交 于点，延长交于点，连接.若 ， 且，则 的长度是_____. 类型4 证明切线添加半径或作垂直 遇到证明某一直线 是圆的切线时：①若直线和圆的公共点还未确定，则常 过圆心作直线的垂线段.作用：若垂线段 ... ...
