沪科版(2024)八下17.5.2一元二次方程的应用(课件+教案+大单元教学设计)

中小学教育资源及组卷应用平台 17.5.2一元二次方程的应用 教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17 课题 17.5.2一元二次方程的应用 课时 1 教材分析 一元二次方程几何图形与含分式应用内容，是代数与几何、实际生活的衔接点。几何问题以面积、边长关系为载体，渗透数形结合思想；分式应用聚焦实际场景中的数量关系，强化模型观念。二者既是对一元二次方程解法的巩固，也是提升学生综合应用能力的关键，为后续函数学习奠定基础 学情分析 学生已掌握一元二次方程基本解法，但几何问题中常因无法准确转化几何关系为代数方程而受阻；分式应用则易忽略实际意义对根的检验。部分学生运算能力薄弱，在分式去分母、方程求解中出错率高，且缺乏主动构建数学模型的意识 核心素养目标 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型 2. 能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程 3. 能运用一元二次方程解决与几何图形和分式方程有关的实际问题 教学重点 能根据问题中的数量关系列出一元二次方程解决图形和分式方程问题 教学难点 将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系 教学准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 解分式方程： 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识 二、引新 创设情境，引入课题 我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，阔及长各几步？” 大家试试解决这个问题 学生思考问题 通过联系数学文化问题，自然引入课题 三、探究 合作探究，活动领悟 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为20 cm、容积为2880 cm3的开口方盒.原金属片的边长是多少？ 解　设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x－40)cm. 根据题意，得20(x－40)2＝2 880. 整理，得(x－40)2＝144. 解方程，得x1＝52，x2＝28. x2＝28不合题意，所以x＝52. 故原金属片的边长是52 cm. 归纳小结： 利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 通过结构化探究任务，实现从“被动接受”到“主动发现”的学习方式转变，契合建构主义与最近发展区理论 四、变式 师生互动，变式深化 例2、一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？ 等量关系： 原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元 设原来这组学生人数为x 总费用/元人数每人费用/元原来1200x现在1200x+2 解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是元. 根据题意，得 －=30 方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得 x2 + 2x – 80 = 0 解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8. 经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根， 但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8. 答：原来这组学生是 8 人. 归纳小结： 解可化为一元二次方程的分式方程 分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为一元二次方程（整式方程），解一元二次方程，并检验所求得的根是否为分式方程的根． 解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活 五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.用长8米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为5平方米.若设它的 ... ...