2026 年省丹中高三数学一模卷 2026.3 满分 150 分, 考试用时 120 分钟 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 的元素个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数 在复平面内对应点的坐标为 ，则复数 的虚部为( ) A. B. C. D. 3. 设 ,则曲线 在点 处的切线的斜率为( ) A. -1 B. -4 C. 1 D. 4 4. 已知 是等比数列,则 “ ” 是 “ 是增数列”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量 ，若 ，则 ( ). A. B. C. D. 6. 从编号 1~10 的 10 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件 : “第一次抽到的卡片编号数字为 5 的倍数”,事件 : “第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”,则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为 3 的球面上, 当该圆锥的侧面积最大时, 它的体积为 ( ) A. B. C. D. 8. 已知 为椭圆 的左、右焦点, 为椭圆 的上顶点, 为椭圆 的右顶点,连接 交椭圆 于另一点 ,若 ,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每个小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分. 9. 在某校文艺汇演中, 六位评委对某小品节目进行打分, 得到一组分值 7.7, 8.1, 8.2, 8.7, 9.4, 9.9, 若去掉一个最高分和一个最低分, 则 ( ) A. 这组分值的极差变小 B. 这组分值的均值变大 C. 这组分值的方差变小 D. 这组分值的第 75 百分位数不变 10. 如图点 是棱长为 2 的正方体 的表面上一个动点, 是线段 的中点, 则 ( ) A. 当 为 的中点时, B. 当 在面 上,且直线 与 所成的角为 时,点 的轨迹长度为 C. 三棱锥 体积的最大值为 D. 当 平面 时，线段 长度最大值为 11. 数学中有许多美丽的曲线,图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成,曲线 , 上顶点为 ,右顶点为 ,曲线 上的点满足到 和直线 的距离之和为定值 4, 已知两条曲线具有公共的上下顶点,过 作斜率小于 0 的直线 与两曲线从左到右依次交于 且 ，则( ) A. 曲线 由两条抛物线的一部分组成 B. 线段 的长度与 点到直线 的距离相等 C. 若线段 的长度为 ，则直线 的斜率为 D. 若 ,则直线 的斜率为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知随机变量 ,且 ,则 展开式中各项系数之和为_____. 13. 已知 ,若在区间 上存在两个不相等的实数 ,满足 ，则 的最小正整数为_____. 14. 以 间的整数 为分子,以 为分母组成分数集合 ,其所有元素和为 ; 以 间的整数 为分子,以 为分母组成不属于集合 的分数集合 ,其所有元素和为 ,依次类推以 间的整数 为分子,以 为分母组成不属于 的分数集合 ,其所有元素和为 ; 则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. AI 幻觉, 是指 AI 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象, AI 幻觉率是指 AI 模型产生 AI 幻觉的概率.现抽取了某公司研发的 14 个使用率较高的 AI 模型, 其幻觉率如下表所示: A I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 模型 幻觉率 1.3 % 1.8 % 2.9 % 1.5 % 1.9 % 2.9 % 0.7 % 0.9 % 1.6 % 2.4 % 0.8 % 1.6 % 2.4 % 2.8 % (1)从表中提供的 AI 模型中任取一个，求该模型幻觉率小于 2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于 2% 的 AI 模型中任取 3 个，用随机变量 表示其中幻觉率小于 1.3% 的模型个数,求随机变量 的分布列和数学期望. 16. 如图,在多面体 中,底面 是平行四边形, , 为 的中点, . (1)证明: 平面 ； (2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 在 中，角 所对的边分别为 ，满足 . (1)求角 ； (2)若 恒成立，求 ... ...
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