2026 届名校联盟第一次调研 一、单选题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 已知全集 ，则 等于( ) A. B. C. D. 2. 复数 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知数列 的前 项和为 ,则对 “ ”是“ ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数 ,则它的部分图象大致是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知抛物线 ,过其焦点 的直线 与 在第一象限的交点为 ,且 ,则 的方程为( ) A. B. C. D. 6. ( ) A. -7 B. C. D. 7. 等腰直角 中, ,点 在 外接圆上运动,若 ,则 的最大值为( ) A. B. 2 C. D. 3 8. 已知 ,则( ) A. B. C. D. ，但 和 的大小关系无法确定 二、多选题 (每小题 6 分, 共 18 分) 9. 已知 的面积为 且 ， ，则 等于( ) A. B. C. D. 10. 函数 满足 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. 的周期为 6 C. D. 的图象关于直线 对称 11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点,则 ( ) A. 越大,则双曲线的离心率越大 B. 过点 与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C. 点 到两渐近线的距离之积为定值 D. 过点 作双曲线的切线交渐近线于 两点,则 为 的中点 三、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 12. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中, 采用样本比例分配的分层随机抽样, 如果不知道样本数据, 只知道抽取了男生 20 人，其平均数和方差分别为 170 和 10，抽取了女生 30 人，其平均数和方差分别为 160 和 15. 则估计出总样本的平均数为_____. 13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____. 14. 已知数列 满足 ,则数列 的通项公式为 _____. 四、解答题 (本题共 5 题, 第 15 题 13 分, 第 16-17 题每题 15 分, 第 18-19 题 每题 17 分, 共 77 分) 15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 . (1)求 ； (2)求 的面积. 16. 已知函数 . (1)若 ，求 在 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 17. 在矩形 中， 为 的中点，将 沿 翻折至 ， 使得平面 平面 ,得到如图所示的四棱锥 . (1)证明: ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 18. 设 为数列 的前 项和,令 . (1)若 ，求数列 的前 项和 ； (2)求证:对 ，方程 在 上有且仅有一个根； (3)求证:对 ，由(2)中 构成的数列 满足 . 19. 有 个人需要通过血液检测某种酶是否存在. 假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为 ,若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在. 现采用以下分组检测方法: 将待检测人群分成 个小组,每组 人. 在每一组中, 取每人的血液混合成一个样本进行检测. 若某组的混合样本检测结果呈阴性(不含酶)，则该组内所有人员无需再进行后续检测. 若某组的混合样本检测结果呈阳性(含有酶)，则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次 (不用采集血样, 利用现有采集过的血样). (1)若 ， ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有 2 人”血液中含有该酶的概率； (2) 用 表示该方法所需检测次数的期望值; (3)设检测成本由两部分组成:采集处理血样成本为 元/人份，化验检测成本为 元/次. 若 ,每组人数 ,且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了 50% 以上，求 的取值范围. (参考数据: ) 1. A 由题意 ,所以 . 故选: A 2. B , 所以复数 在复平面内对应的点为 , 故选: B 3. A 由 得: , 不等式左右两边分别相加, 得 消去两边相同的项得, , 所以 ; 取数列 满足, ,且对 ,且 有 . 满足 ,但 . 不满足 . 即“ ”推不出“ ”. 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: A. 4. A 由题设,函数的定义域为 ,且 , 所以 为奇函数,排除 , 当 时, ,故 ,排除 . 故选: A 5. B 由题意如图所示: 抛物线 的焦点为 ,准线方程为: , 设 到准线的距离为 由抛物线的定义得: ,又 ... ...
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