2026 届高三一模数学试题 一、单选题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知 为坐标原点， ， ， 两点在单位圆 上，满足 ，以线段 为邻边作平行四边形 ,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 3. 如图所示，在 中， ， ， ， 是 的中点，点 在 上,且 . 则 ( ) A. B. C. D. 4. 棱长为 1 的正方体 中，点 在线段 上(不与 重合)， 于 于 ，以下结论错误的是( ) A. 平面 ; B. 线段 与线段 的长度之和为定值; C. 线段 长度的最小值为 ; D. 面积的最大值为 ； 5. 已知奇函数 的定义域为 ,当 时, ,则( ) A. B. C. D. 6. 在 中， ， 为 边上的中点，且 ，则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ,椭圆 的离心率为 ,双曲线 的离心率为 ,点 为椭圆 与双曲线 的交点, 且 ,则当 取最大值时, ( ) A. B. C. D. 8. 如图,在平面直角坐标系 上,有一系列点 , 每个点 均在函数 的图象上. 已知以点 为圆心的 均与 轴相切, 与 外切,且 ,则( ) A. 是等比数列,且公比为 B. 是等比数列,且公比为 C. 是等差数列,且公差为 2 D. 是等差数列,且公差为 4 二、多选题(每小题 6 分，共 18 分) 9. 上饶市某学校从高一的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高, 被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [155,160)，第二组 ,第八组 . 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4 人.以下说法正确的是( ) A. 第二组的频率为 0.016 B. 第七组的频率为 0.06 C. 估计该校高一 800 名男生的身高的中位数约为 174.5cm D. 估计该校高一 800 名男生的身高的平均数约为 174.1cm 10. 定义在 上的函数 对任意实数 均满足 ,且当 时, . 则下列结论正确的是 ( ) A. B. 函数 为偶函数 C. 在 上单调递减,在 上单调递增 D. 不等式 的解集为 11. 双曲线具有丰富的光学性质. 例如,从双曲线的一个焦点 处发出的光线,经过双曲线在点 处反射后,反射光线所在直线经过另一个焦点 ,且双曲线在点 处的切线平分 . 如图,已知等轴双曲线 经过点 ,其左、右焦点分别为 . 若从 发出的光线经双曲线右支上一点 反射后的光线为 ,双曲线 在点 处的切线交 轴于点 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 双曲线 的方程为 B. 过点 且垂直于 的直线平分 C. 若 ,则 D. 若 ，则 的面积为 三、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 12. 二项式 的展开式中 的系数为_____. 13. 已知直线 与函数 的图象相切,则实数 _____. 14. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列. 独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 . 若事件 “ ” 发生的概率为 ，则事件 “ ”. 发生的概率为_____. 四、解答题(本题共 5 题，第 15 题 13 分，第 16-17 题每题 15 分，第 18-19 题 每题 17 分, 共 77 分) 15. 已知数列 满足 . (1)证明:数列 是等比数列； (2)求 的通项公式，并求 的前 项和 . 16. 已知集合 含有 个元素，其中 ，先后两次随机、独立地选取集合 的两个子集， 记为 与 . 设 为集合 中元素的个数, (1)若 ，且 ，请列举所有满足条件的 和 ； (2)求随机变量 的数学期望 ； (3)设 在 处取得最大值,试建立 与 的关系. 17. 如图,在直三棱柱 中， . 若 分别为棱 上的动点,且 ，点 在平面 上的射影为点 . (1)求证:平面 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 18. 已知函数 . (1)求 的定义域； ( 2 )当 ，证明: ； (i) 若 ,证明: ; (ii) 若 存在三个极值点,求实数 的取值范围. 19. 已知椭圆 的焦距为 2,且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 为 的左焦点，点 为直线 上任意一点，过点 作 的垂线交 于两点， ， ①证明: 平分线段 (其中 为坐标原点)； ②当 取最小值时,求点 ... ...
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