2026 年春学期金坛区第一中学高三年级 3 月质量调研数学 试卷 一、单选题(本大题共 8 小题，共 40 分.) 1. 已知集合 ，集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位,则 ( ) A. 10i B. C. 11i D. 3. 已知 为正项等比数列 的前 项和,若 ,则 的公比 ( ) A. 3 B. 2 C. D. 4. 设平面向量 满足 ，则 ( ) A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 在平面直角坐标系 中,第一象限内的动点 ,若点 在直线 上,则 的最小值为( ) A. B. C. 1 D. 6. 若 为奇函数,则 的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 7. 过点 作曲线 的切线 ,则 的斜率为( ) A. 1 B. C. D. 8. 在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑 中, 平面 ,且 为 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共 4 小题，共 20 分.在每小题有多项符合题目要求) 9. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件 和 ,其中 , ,下列结论正确的有( ) A. B. 事件 与 互斥 C. D. 事件 与 相互独立 10. 已知函数 是函数 的一个极值点,则下列说法正确的是 ( ) A. B. 函数 在区间 上单调递减 D. 函数 有 5 个零点 11. 已知函数 ,下列结论正确的有( ). A. 是奇函数 B. 在 上单调递增 C. 无极大值 D. 的最小值为 三、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分) 12. 已知直线 和圆 ,点 是直线 上的一动点,过点 作圆 的切线，切点为 ，则线段 长度的最小值为_____. 13. 有 1000 张从 1 开始依次编号的多米诺骨牌, 从小到大排成一行, 每次从中去掉处在奇数位置的牌, 则最后剩下的一张牌是_____号. 14. 已知函数 ,若 ，则函数 的最小值为_____；若 ， 都有 ，则实数 的取值范围为_____. 四、解答题 (本大共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤) 15. 记 为等比数列 的前 项和,已知 . (1)求 的通项公式；_____ (2)设 ，求数列 的前 项和 . 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 17. 如图，在三棱台 中， ，平面 平面 ， . (1)证明: 平面 ； (2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,点 是 右支上一点, 的面积为 4 . (1)求 的方程； (2)点 是 在第一象限的渐近线上的一点， 轴，点 是 右支在第一象限上的一点， 且 在点 处的切线 与直线 相交于点 ,与直线 相交于点 . 试判断 的值是否为定值 若为定值, 求出它的值; 若不为定值, 请说明理由. 19. 已知函数 ,其中 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； ( 2 )若 的最大值是 ，求 的值； (3)设函数 ，若 有两个极值点 ，证明: 1. A 因为 , 所以 . 故选: A. 2. B . 故选: B 3. B 由题意知正项等比数列 的公比 , 若 ,则 , 故 , 所以 ,解得 , 的负值舍去 故选: B 4. C , 所以 . 故选: C 5. B 如图,过点 作点 关于线段 的对称点 ,则 . 设 ,则有 ,解得 ,所以 . 设第一象限内的点 ,则 ,所以 , 而 ,所以点 到 轴的距离为 , 所以 可视为线段 上的点 到 轴的距离和到 的距离之和. 过 作 轴,显然有 , 当且仅当 三点共线时,和有最小值. 过点 作 轴,则 即为最小值, 与线段 的交点 , 即为最小值时 的位置. 因为 ,所以 的最小值为 . 故选: B. 6. D 函数 为奇函数, 的定义域为 , 由 , 函数 的定义域为 , 函数 在定义域内单调递增, 当 时, 的单调递增区间为 , 所以 的单调递增区间为 . 故选: D. 7. C 设切点为 ,切线斜率为 ,曲线为 , 由导数的几何意义得 , 故切线方程为 ,将 代入方程, 得到 ,解得 ,则 ,故 正确. 故选: C. 8. C 取 的中点 ,连接 ,如图所示: 分 ... ...
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