同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (课件+学案+练习) 2027年高考数学一轮专题复习

4.2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 复习目标　1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式进行求值、化简、证明． 三角函数 活动一 基础引入 1 设sin 23°＝m，则tan 67°等于(　　) A. － B. C. D. 2 [2026沈阳月考]已知角α(0°<α<360°)终边上的点A的坐标为(sin 320°，cos 320°)，则α的大小为(　　) A. 230° B. 220° C. 140° D. 130° 3 化简的结果是(　　) A. sin 40°＋cos 40° B. sin 40°－cos 40° C. cos 40°－sin 40° D. －cos 40°－sin 40° 4 [2025北京海淀月考]已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P，则sin ＝_____． 5 [苏教版必修一P191例12改编]已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (15°－α)的值为_____． 活动二 典例悟法 题组一　利用同角三角函数的基本关系式化简、求值 1 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求： (1) sin x－cos x的值； (2) 的值． 化简： (1) cos α＋sin α(α是第二象限角)； (2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α. 1．利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在的象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3. 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 4．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 题组二　利用诱导公式化简、求值 2 在①2tan (π－α)＝－1；②cos (π－α)＋cos (α－)＝sin (－α)；③点P(2a，a)(a≠0)在角α的终边上，这三个条件中，选择其中一个，解决下列问题． (1) 求tan α的值； (2) 若角α的终边在第三象限，求2sin (2π－α)－cos (π＋α)的值． 1 (1) 已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　) A. {1，－1，2，－2} B. {－1，1} C. {2，－2} D. {1，－1，0，2，－2} (2) 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝_____； (3) 已知tan ＝，则tan ＝_____． 2 已知sin ＝，则sin (x－)＋sin2(－x)的值为_____． 诱导公式的两个应用 1．求值：负化正，大化小，化到锐角． 2. 化简：统一角，统一名，同角名少． 题组三　三角函数式的等价转化 3 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π).求： (1) ＋的值； (2) 实数m的值； (3) 方程的两根及此时θ的值． 已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求： (1)tan α的值； (2) 的值． 三角函数化简求值的注意点 1. 切化弦或弦化切统一名． 2. 用诱导公式，统一角． 3. 用因式分解将式子变形，化为最简，也就是“化同”． 4．2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1. D　解析：因为sin 23°＝m，所以cos 67°＝m，所以sin 67°＝，所以tan 67°＝.因为sin 23°＝m>0，所以tan 67°＝＝. 2. D　解析：因为sin 320°＝sin (360°－40°)＝－sin 40°<0，cos 320°＝cos (360°－40°)＝cos 40°>0，所以角α的终边在第二象限. 又tan α＝＝＝tan 130°，且0°<α<360°，所以α＝130°. 3. C　解析：＝＝＝|sin 40°－cos 40°|.因为sin 40°