4.7 正弦定理、余弦定理及其应用 4．7.1 正弦定理、余弦定理 复习目标 1. 掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.2. 会利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状.3. 会综合应用正、余弦定理解决相关问题． 解三角形 活动一 基础引入 1 [苏教版必修二P114本章测试T10]在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则角C的大小为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是( ) A. 若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解 B. 若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解 C. 若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解 D. 若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解 3 [苏教版必修二P114本章测试T5]在△ABC中，若a cos B＋b cos A＝a，则△ABC的形状是_____． 4 [2025苏州期初]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝30°，b＝，c＝2，则a＝_____． 5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，sin A sin B＋sin A sin C＝sin B sin C，则b＋c的最小值为_____． 活动二 典例悟法 题组一 利用正、余弦定理解三角形 1 [2025安庆二模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B－a sin A＝a sin C. (1) 求证：B＝2A； (2) 若角C为锐角，且a＝1，△ABC的面积为，求边长b的值． 1 [2025全国二卷·5]在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则角A的大小为( ) A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 2 [2025全国一卷·11]已知△ABC的面积为，若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则下列结论中正确的是( ) A. sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C. sin A＋sin B＝ D. AC2＋BC2＝3 1. 利用余弦定理解三角形的类型： (1) 已知三边，求三个角； (2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2. 利用正弦定理解三角形的类型： (1) 已知两角和任意一边，求另一角和其他两边； (2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． 3. 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( ) A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)·cos A，则△ABC的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 判断三角形形状的方法 1. 化边为角，通过三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． △ABC中常见的内角关系：sin A＝sin B A＝B；sin (A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝；cos A＝cos B A＝B；cos 2A＝cos 2B A＝B；sin AB等． 2. 化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 常用结论：a＝b 等腰三角形；a＝b＝c 等边三角形；a2＋b2＝c2 直角三角形；a2＋b2
