秒用“恒成立问题中的共零点”巧解新高考全国卷中的一类恒成立问题 一．方法梳理 在定义域内任意恒成立，说明与有相同的正值区间，即它们需要有相同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的；等价于函数和在定义域内有相同的零点；对任意定义域内任意恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者的负值区间是的正值区间，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的。根据这个原理可以求参数的值或范围。 高考中的应用 例1．（2024年高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【分析】由已知可得，函数与函数在定义域内有相同的零点，即可得，代入可得最值． 【详解】由题意可知：的定义域为，令，则， 与在定义域内为增函数， 对任意恒成立， 与有相同的正值区间和有相同的负值区间， 这两个函数的零点必须是共有的， 等介于函数和在定义域内有相同的零点， 令解得；令解得； 即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 例2．设，若时均有，则. 【分析】由已知可得，函数与函数在定义域内有相同的零点，即可得或（舍去）． 【详解】令函数与函数， 若时均有， 在有唯一零点， 只需与在具有相同零点且， 由得， 可得或（舍去）， ． 例3．设，若时，恒有，则 【分析】本题关键先令得到 然后由恒成立问题中的共零点问题得函数与有共同的零点， 得，． 【详解】】因为不等式恒成立，不妨令， 得，则代入 得对任意的恒成立， 设，， 函数与有共同的零点， 得， 评析：以上3例都是高考题，巧妙利用“恒成立问题中的共零点问题”的求解策略，我们可以快速的、干脆利落的解决问题，从而可以有更好的心态去做其他题目，必定超长发挥考出佳绩． 三．专项训练 1．若不等式对上恒成立，则 分析：的零点为， 为使对上恒成立， 当且仅当的图像恰经过的零点， 故选B． 2．已知，满足在定义域上恒成立，则的值为． 分析：令，则 在定义域上恒成立， 由恒成立问题中的共零点问题得：和有共同零点， 由得， 也是的零点， 得． 3．若在上始终成立，则的值为 ． 分析：，． 由恒成立问题中的共零点问题得：的两个零点为1和， 的两根也为1和， 解得． 4．已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为 ． 分析：令，，则 若恒成立， 由恒成立问题中的共零点问题得：函数与函数有相同的零点 由得，由得， ． 5．若不等式，对恒成立，则和分别等于（ ） A. B. C. D. 分析：令，，则 若不等式，对恒成立， 由恒成立问题中的共零点问题得：函数与函数有相同的零点， 由得， 也是的零点， 故选D． 6．若不等式对任意实数恒成立，则 . 分析：令，，则 若不等式对任意实数恒成立， 由恒成立问题中的共零点问题得： 由得， 也是函数的零点 ．秒用“恒成立问题中的共零点”巧解新高考全国卷中的一类恒成立问题 一．方法梳理 在定义域内任意恒成立，说明与有相同的正值区间，即它们需要有相同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的；等价于函数和在定义域内有相同的零点；对任意定义域内任意恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者的负值区间是的正值区间，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的。根据这个原理可以求参数的值或范围。 高考中的应用 例1．（2024年高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 例2．设，若时均有，则. 例3．设，若时，恒有，则 三．专项训练 1．若不等式对上恒成立，则 2．已知，满足在定义域上恒成立，则的值为． 3．若在上始终成立，则的值为 ． 4．已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为 ． 5．若不等式，对恒成立，则和分别等于（ ） A. B. C. D. 6．若不等式对任意实数恒成立，则 . ... ...
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