1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1.若a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1),则a-b=( ) A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(2,0,2) D.(-2,-1,-3) 【解析】 A 因为a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1),所以a-b=(2,-4,2).故选A. 2.已知向量a=(x,1,-1),b=(2,1,x),若a·b=2,则实数x等于( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【解析】 D 由题意知向量a=(x,1,-1),b=(2,1,x),a·b=2,故2x+1-x=2,所以x=1.故选D. 3.已知空间向量a=(-1,2,4),b=(1,-4,2),c=(4,4,z),若(a+2b)⊥c,则z=( ) A.- B.- C. D. 【解析】 C 因为a+2b=(1,-6,8),且(a+2b)⊥b,所以(a+2b)·c=0,所以(1,-6,8)·(4,4,z)=0,即4-24+8z=0,解得z=.故选C. 4.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是( ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 【解析】 B 不妨设b=(x,y,z),对于A,若b=(-1,1,0),则cos θ===-≠,不满足条件;对于B,若b=(1,-1,0),则cos θ===,满足条件;对于C,若b=(0,-1,1), 则cos θ===-≠,不满足条件;对于D,若b=(-1,0,1),则cos θ===-1≠,不满足条件.故选B. 5.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 【解析】 C 因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以=(1+t,2t-1,0), 所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2,易知当t=时,||2取得最小值,即A,B两点的距离的最小值为.故选C. 6.(多选)已知空间向量a=(1,2,3),2a+b=(0,3,7),c=(2,m,6),且a∥c,则下列说法正确的是( ) A.|b|= B.m=4 C.(2b+c)⊥a D.cos
=- 【解析】 ABD 设b=(x,y,z),因为a=(1,2,3),2a+b=(2+x,4+y,6+z)=(0,3,7),所以解得所以b=(-2,-1,1),则|b|==,故A正确;由a∥c,a=(1,2,3),c=(2,m,6),得==,则m=4,故B正确;因为b=(-2,-1,1),c=(2,4,6),所以2b+c=(-2,2,8),又a=(1,2,3), 则(2b+c)·a=-2+4+24=26≠0,故C错误;因为b·c=-2,b=,c==, 则cos===-,故D正确.故选ABD. 7.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成角的大小为 ,线段MN的长度为 . 【答案】 90° 【解析】 以A为坐标原点,分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(图略), 设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,),O(,,0),N(,0,1), 所以=(0,1,),=(0,-,1),·=(0,1,)·(0,-,1)=0,所以异面直线ON与AM所成角的大小为90°.又=(,-1,),所以MN=||==. 8.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为 . 【答案】 1,3 【解析】 由题意知a∥b,所以==,即整理得x2+x-2=0, 即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6,此时b=(-2,-4,-6)=-2a,a与b反向,不符合题意,舍去; 当x=1时,y=3,b=(1,2,3)=a,a与b同向,符合题意,所以x=1,y=3. 9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正三棱柱的侧棱长; (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【解】 (1)设正三棱柱的侧棱长为h, 由题意得A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),B1(,0,h),C1(0,1,h), 则=(,1,h),=(-,1,h), 因为AB1⊥BC1, 所以·=-3+1+h2=0, 所以h=. (2)由(1)可知=(,1,),=(-,1,0),所以·=-3+1+0=-2. 因为||==,||==2, 所以cos<,>===-.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 10.已知空间中三点A(3,1,-1),B(2,0,-1),C(4,1,-3),设a=,b=. (1)若|c|=3,且c∥,求向量c的坐标; (2)求以a,b为一组邻边的平行四边形的面积S. 【解】 (1)由B(2,0,-1),C(4,1,-3)可得=(2,1,-2),若c∥,则c=t=(2t,t,-2t),t∈R, 又|c|=3, 所以=3, 解得t=±1, 所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2). (2)由A(3,1,-1),B(2,0,-1),C(4,1,-3)可得a==(-1,-1,0),b==(1,0,-2), 所以|a|==,|b|==,a·b=-1+0+0=-1, 所以cos ∠BAC=cos===-, 所以sin ∠BAC=, 所以S=2×|a||b| ... ... 