用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时作业(学生版+解析版) 2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修1

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.已知向量a=(4,-2,6),b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　) A.-1或1 B.-1 C.-3 D.1 2.已知向量=(1,2,1),=(0,1,-2),则平面ABC的一个法向量可以是(　　) A.(5,-2,-1) B.(-6,2,2) C.(3,1,-2) D.(4,-3,1) 3.已知平面α内有一点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P在平面α内的是(　　) A.(1,-1,1) B.(1,3,) C.(1,-3,) D.(-1,3,-) 4.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 5.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.设=a,=b,=c,则平面A1BD的一个法向量为(　　) A.6a+6b-c B.2a+3b+c C.2a+3b-c D.a+b-c 6.(多选)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体,则(　　) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 7.在长方体ABCDA′B′C′D′中,AA′=2AB=2AD=2,以点D为坐标原点,DA,DC,DD′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设平面ACD′的法向量为(x,y,z),则x∶y∶z= 　　　　　　　　. 8.在空间直角坐标系中,两平面α与β分别以n1=(2,1,1)与n2=(0,2,1)为其法向量,若α∩β=l,则直线l的一个方向向量为　　　　.(写出一个方向向量的坐标即可) 9.已知点A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,-1). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)设平面α经过点A,且是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,试写出x,y,z满足的关系式. 10.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:是平面ABCD的一个法向量. (2)求平行四边形ABCD的面积. 11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心,点F是正方体棱上的点,以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.若平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱可以是(　　) A.AD B.CD C.CC1 D.DD1 12.已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3).若空间中点N满足BN⊥平面ABC,则符合条件的一个点N的坐标是　　　　　　. 13.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在PB上,点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量 14.在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,若直线l是两平面x-y+2=0与2x+z+1=0的交线,则下列向量可以作为直线l的方向向量的是(　　) A.(3,1,2) B.(1,1,-2) C.(2,1,3) D.(2,1,-4)1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.已知向量a=(4,-2,6),b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　) A.-1或1 B.-1 C.-3 D.1 【解析】 B　依题意,向量a=(4,-2,6),b=(-4,2x2,6x)共线,则==,所以x=-1.故选B. 2.已知向量=(1,2,1),=(0,1,-2),则平面ABC的一个法向量可以是(　　) A.(5,-2,-1) B.(-6,2,2) C.(3,1,-2) D.(4,-3,1) 【解析】 A　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令z=-1,得x=5,y=-2. 可得平面ABC的一个法向量为n=(5,-2,-1).又B,C,D三个选项的向量均不与n=(5,-2,-1)共线.故选A. 3.已知平面α内有一点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P在平面α内的是(　　) A.(1,-1,1) B.(1,3,) C.(1,-3,) D.(-1,3,-) 【解析】 B　由题意可知符合条件的点P应满足·n=0. 选项A,=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内;同理可得,选项B,=(1,-4,),·n=0,故在平面α内;选项C,=(1,2,),·n=6≠0,故不在平面α内;选项D,=(3,-4,),·n ... ...