1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 1.空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为( ) A.2 B.2 C.3 D.2 【解析】 A 因为=(1,1,1),所以直线MN的一个单位方向向量为u=(1,1,1).因为=(1,-1,3),所以||2=12+(-1)2+32=11,·u=×(1-1+3)=,所以点P到直线MN的距离为==2.故选A. 2.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-3,1,-4),则这个四棱锥的高h等于( ) A.26 B.13 C.2 D.1 【解析】 D 设平面ABCD的法向量n=(x,y,z),则 令x=1,得n=(1,4,), 所以这个四棱锥的高h====1.故选D. 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离是( ) A. B. C. D. 【解析】 D 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3), 则=(-2,1,0),=(-2,0,3), 设的公垂线的方向向量n=(x,y,z), 则 令x=3,则n=(3,6,2), 因为=(0,1,0), 所以d===.故选D. 4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为( ) A.2 B. C. D. 【解析】 D 以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则G(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1), 因此=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1). 设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),则 令x=1,得n=(1,0,2), 则平面D1EF的一个法向量为(1,0,2),所以点G到平面D1EF的距离为==. 故选D. 5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,G为线段DD1上的点,且DG=DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则直线A1D1到平面EFGH的距离为( ) A. B. C. D. 【解析】 A 以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 则E(1,1,),F(0,1,),G(0,0,),D1(0,0,1),A1(1,0,1), 所以=(-1,0,0),=(0,-1,-),=(-1,0,0),则=,所以A1D1∥EF.又因为EF 平面EFGH,A1D1 平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH. 所以A1D1到平面EFGH的距离即为点D1到平面EFGH的距离. 设平面EFGH的法向量为n=(x,y,z), 则令z=6,则n=(0,-1,6),又因为=(0,1,-), 所以点D1到平面EFGH的距离d===,即直线A1D1到平面EFGH的距离为.故选A. 6.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是( ) A.点A到直线BE的距离是 B.点P到直线AB的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点O到平面ABC1D1的距离为 【解析】 ACD 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(,0,1),O(,,1), 对于A,=(-1,0,0),=(-,0,1),故点A到直线BE的距离d1===,故A正确;对于B,因为=++,所以=(,,),又=(1,0,0),则=,所以点P到直线AB的距离d2===,故B错误;对于C,=(1,0,-1),=(0,1,-1), =(0,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(x1,y1,z1),则令z1=1,得y1=1,x1=1,所以n=(1,1,1)为平面A1BD的一个法向量,所以点D1到平面A1BD的距离d3===,因为BA1∥CD1,BA1 平面A1BD,CD1 平面A1BD,则CD1∥平面A1BD,同理B1C∥平面A1BD,B1C∩CD1=C,B1C,CD1 平面B1CD1,故平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,即为,故C正确;对于D,=(0,1,1), =(-,-,0),设平面ABC1D1的法向量为m=(x2,y2,z2),则取y2=1,则m=(0,1,-1),所以平面ABC1D1的一个法向量为m=(0,1,-1),则点O到平面ABC1D1的距离d4===,故D正确.故选ACD. 7.已知AB∥平面α,平面α的一个法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为 . 【答案】 【解析】 因为AB∥平面α,所以直线AB到平面α ... ...
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