培优课2 对称问题 1.点A(2,-3)关于点B(-1,0)的对称点A′的坐标是( ) A.(5,-6) B.(-4,3) C.(3,-3) D.(,-) 【解析】 B 设点A′的坐标为(x,y),则解得故选B. 2.点P(3,0)关于直线l:2x-y-1=0的对称点Q的坐标是( ) A.(-2,-3) B.(-1,2) C.(-1,-3) D.(1,0) 【解析】 B 设对称点Q的坐标为(x,y),则解得故选B. 3.如图,从光源P发出的一束光,遇到平面镜(y轴)上的点B后,反射光线BC交x轴于点C(,0),若光线PB满足的函数关系式为y=kx+1,则k的值为( ) A. B. C.1 D.-1 【解析】 A 因为光线PB满足的函数关系式为y=kx+1,令x=0,可得y=1,即点B(0,1),又因为C(,0),所以点C关于y轴的对称点为C′(-,0),可得BC′的斜率为kBC′==.因为P,B,C′三点共线,可得k=kBC′,所以k=.故选A. 4.直线x+y=1关于x轴对称的直线是( ) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 【解析】 A 对于直线x+y=1,y换为-y得到x-y=1,即x-y-1=0.故选A. 5.(多选)已知点M(1,2)关于直线l:y=kx+b对称的点是N(-1,6),直线m过点M,则( ) A.kb=2 B.l在x轴上的截距是-8 C.点M到直线l的距离为1 D.当m∥l时,两直线间的距离为 【解析】 ABD 由对称得MN的中点(0,4)在直线l上,则b=4,又kMN==-2,MN⊥l,则k=. 对于A,kb=×4=2,故A正确; 对于B,l:y=+4,令y=0,得x=-8,故B正确; 对于C,点M(1,2)到直线l:x-2y+8=0的距离为=≠1,故C错误; 对于D,m∥l,且直线m过点M(1,2),则m:x-2y+3=0,两平行线间的距离为=,故D正确. 故选ABD. 6.(多选)已知两点A(-5,-1),B(0,4),点P是直线l:y=2x-1上的动点,则下列结论正确的是( ) A.存在P(1,1)使|PA|+|PB|最小 B.存在P(,0)使|PA|2+|PB|2最小 C.存在P(,)使|PA|2+|PB|2最大 D.存在P(0,-1)使||PA|-|PB||最小 【解析】 ABD 对于A,设点B关于直线l的对称点为 C(m,n),所以 所以所以C(4,2),所以|PA|+|PB|≥|AC|,当且仅当P为AC与l交点时,满足题意,又因为AC:y-2=(x-4),即AC:y=x+,所以所以所以P(1,1),故A正确; 对于B,C,设P(x,2x-1),所以|PA|2+|PB|2=(x+5)2+(2x-1+1)2+x2+(2x-1-4)2,所以 |PA|2+|PB|2= 10[(x-)2+],则|PA|2+|PB|2无最大值,当且仅当x=时,|PA|2+|PB|2有最小值,此时2x-1=0,所以P(,0),故B正确,C错误; 对于D,因为||PA|-|PB||≥0,取等号时,|PA|=|PB|,即P为AB的垂直平分线与l的交点,因为AB的垂直平分线的方程为y-=-·(x-),即y=-x-1,所以所以 所以P(0,-1),故D正确.故选ABD. 7.一束光线从点M(2,4)射入,经x轴上的点S反射后经过点N(9,3),则反射光线的倾斜角为 . 【答案】 45° 【解析】 设S(t,0),由题可知kMS=-kNS,且t≠2,t≠9,则=-,解得t=6,则反射光线的斜率kNS==1,所以反射光线的倾斜角为45°. 8.已知点P(x,y)在直线x+y=0上,则+的最小值为 . 【答案】 4 【解析】 +=+, 表示直线x+y=0上的点到定点A(2,0)和B(0,2)的距离之和,如图, 点A(2,0)关于直线y=-x的对称点为A′(0,-2),|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=4,当且仅当点A′,P,B三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值4. 9.已知直线l:2x-5y+3=0,l1:y=-1,直线l与l1交于点A. (1)求过点A且与l垂直的直线l′的方程; (2)点B是直线l1上异于A的一点,若l为∠BAC的平分线,求点C所在的直线l2的方程. 【解】 (1)将y=-1代入直线l的方程,则2x-5×(-1)+3=0,解得x=-4,则A(-4,-1).因为kl=,l′⊥l,则kl′=-, 则直线l′的方程为y+1=-(x+4),即5x+2y+22=0. (2)如图,取点B(0,-1),设其关于直线l:2x-5y+3=0的对称点为B1(a,b), 则解得 l2过点A(-4,-1),B1(-,),则点C所在的直线l2的方程为y+1=(x+4),即20x-21y+59=0. 10.已知△ABC的顶点A(2,1),边AB上的中线CM所在直线的方程为y=x,边AC的高BH所在直线的方程为x+2y+1=0,求: (1)点B和点C的坐标; (2)入射光线经过点A(2,1),被AB上的中线CM反射,反射光线过点N(4,3),求反射光线所在直线的方程. 【解 ... ...
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