培优课1 空间向量在立体几何热点问题中的应用 1.如图,以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点P在体对角线AB上运动,Q为棱CD的中点,则当|PQ|最小时,点P的坐标为( ) A.(,,) B.(1,1,0) C.(0,0,1) D.(,,) 2.如图①,将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD,再将平行四边形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图②,则直线AC与BD所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,底面A1B1C1D1是边长为a的正方形,侧棱AA1的长为b,E为侧棱BB1上的动点(包括端点),则( ) A.对任意a,b,存在点E,使得B1D⊥EC1 B.当且仅当a=b时,存在点E,使得B1D⊥EC1 C.当且仅当a≥b时,存在点E,使得B1D⊥EC1 D.当且仅当a≤b时,存在点E,使得B1D⊥EC1 4.如图①,在Rt△ABC中,C=,AC=BC=2,D,E分别为AC,AB的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如图②.若F是A1B的中点,则四面体F-CDE的外接球的体积是( ) A.2π B. C. D. 5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都相等,且AA1⊥平面ABC,D是棱CC1的中点,E是棱AA1上的动点(不包括端点).设AE=x,随着x的增大,平面BDE与平面ABC的夹角( ) A.先增大再减小 B.减小 C.增大 D.先减小再增大 6.(多选)一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成,如图①,沿AD,BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直,如图②,连接EF,AE,CF,若G为FC上的动点,则下列说法正确的是( ) A.若G为线段FC的中点,则GB∥平面AEF B.多面体ABCDFE的体积为144 C.AG2+BG2的最小值为108 D.EC⊥AF 7.如图,在菱形ABCD中,AB=,∠BAD=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使点A,C之间的距离为2,当P,Q分别为线段BD,CA的中点时,PQ与AD所成角的余弦值为 . 8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点,F是AD上一点,AB=AA1=2,BC=3,AF=1,动点P在上底面A1B1C1D1上,且满足三棱锥P-BEF的体积等于1,则直线CP与DD1所成角的正切值的最小值为 . 9.如图,在边长为3的正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=1,AC∥EF,将△DEF沿EF翻折至△PEF的位置,且平面PEF⊥平面ABCFE. (1)证明:AC∥平面PEF且PB=. (2)求平面PAB与平面PCF的夹角. 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2DC,∠ABC=90°,△PAD为等腰直角三角形,AD为斜边,其中AB=2,PD=BC=1,PB=PC. (1)证明:平面PAD⊥平面ABCD. (2)线段PB上是否存在一点T,使得AT与平面PAD所成角的正弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 11.(多选)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E是棱CD上的动点,且 =λ(0≤λ≤1).则下列结论正确的是( ) A.EB1⊥AD1 B.点E到直线A1B1的距离为a C.直线AE与B1D1所成角的取值范围为(,) D.二面角E-A1B1-A的大小为 12.记球O为体积为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,P为平面D1AC与球O交线上一动点,则AP的最小值为 . 13.已知三棱锥D-ABC,△ABC是边长为2的正三角形,∠DAB=∠DAC=,AD=3. (1)证明:AD⊥BC. (2)动点E满足 =λ(λ∈R),求直线CE与平面ABD所成角的正弦值的最大值. 14.对于两个空间向量a=(x1,y1,z1)与b=(x2,y2,z2),我们定义d(a,b)= 为两点之间的直线距离;又定义它们之间的曼哈顿距离为 D(a,b)=|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,d(,)= ;若点P在底面ABCD内(含边界)运动,且||=,则 D(,)的取值范围是 . 培优课1 空间向量在立体几何热点问题中的应用 1.如图,以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点P在体对角线AB上运动,Q为棱CD的中点,则当|PQ|最小时,点P的坐标为( ) A.(,,) B.(1,1,0) C.(0,0,1) D.(,,) 【解析】 D 连接OA,过点P作PE⊥OA于点E,如图, 则PE垂直于平面Oxy ... ...
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