(
课件网) 3.1.1 椭圆的标准方程 高教版 拓展模块 学习目标 知识与技能 准确描述椭圆的几何特性，理解椭圆作为平面上所有点到两个焦点的距离之和为常数的几何定义；能熟练写出椭圆的标准方程 过程与方法 使用椭圆的定义来推导其标准方程，理解从定义到方程的转换过程；运用待定系数法，通过已知条件确定椭圆方程中的参数，进而写出椭圆的标准方程。 情感、态度与价值观 体会数学推导的乐趣和逻辑性，培养对数学推导过程的尊重和欣赏。 重难点 椭圆的定义及标准方程；椭圆标准方程的推导过程. 重 用待定系数法求椭圆的标准方程. 难 情景导入 情景1：爱滑雪的冰墩墩 同学们，你们知道2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩吗？冰墩墩是一个活泼可爱的小熊猫，它对滑雪充满热情. 它想要在雪道上展示一场精彩的花样滑雪表演.为了使表演更加完美，冰墩墩准备在雪道上绘制一个独特的图形. 椭圆 情景导入 情景2：太阳系 太阳系是一个广阔而复杂的天体系统，它包括太阳、行星、卫星、小行星、彗星等多种天体。在这个系统中，大多数天体都在围绕太阳运行，形成了一个以太阳为中心的庞大“家族”。 在理想情况下，行星的轨道应该是完美的圆形，但实际情况并非如此。根据开普勒定律，行星的轨道实际上是椭圆形的，而不是完美的圆形。 情景导入 情景3：池塘 小明设计了一个小花园，其中包含一个池塘，这个池塘是什么形状的呢？ 椭圆 情景导入 情景4：生活中的椭圆 课程导入 如何画出一个椭圆呢 问题探究 准备工具 一个画板或硬纸板. 一条定长的细绳. 两枚图钉. 一支笔. 绘制椭圆 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 思考 问题 绘制椭圆的过程中，什么是不变的？ 即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一常数2a，即： 不论点M运动到何处，绳长(2a)是不变的！ 椭圆的标准方程 ， 椭圆的标准方程 所以 ① 将方程①左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 整理，得 ③ 椭圆的标准方程 对方程③两边平方，得 整理，得 ④ 由椭圆的定义可知，，即，所以. 椭圆的标准方程 我们称此方程是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程. 它表示焦点在轴上，两个焦点分别是，的椭圆，这里. 椭圆的标准方程 如图，如果焦点在轴上，且的坐标分别为的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 容易知道，此时椭圆的方程是 这个方程也是椭圆的标准方程，这里. 归纳总结 椭圆的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 的关系 ， ， 例题解析 例 判断以下方程是否为椭圆的标准方程. √ √ 例题解析 例 D 例题解析 例1 根据条件,求椭圆的标准方程. 解 例题解析 例1 根据条件,求椭圆的标准方程. 解 例题解析 例3 已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距. 解 （1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a =6,b =4. 例题解析 例3 已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距. 解 随堂练习 解析 设椭圆的左、右焦点分别为，， 结合椭圆定义 ，可得 . ，可得 . 随堂练习 解析 求下列椭圆的焦点坐标和焦距 随堂练习 解析 求下列椭圆的焦点坐标和焦距 随堂练习 2. 已知椭圆的焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10.求椭圆的标准方程. 随堂练习 一点，求ΔPF2F2的周长. P为椭圆上 课后小结 椭圆的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐 ... ...
