2024-2025学年北京师大附中高三（上）月考数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则的最小值是( ) A. B. C. D. 3.抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 5.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6.已知，，，则( ) A. B. C. D. 7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.在中，，则( ) A. B. C. D. 9.设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.已知是无穷等比数列，其前项和为，若对任意正整数，都有，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，。 11.函数的定义域是_____． 12.已知为等比数列，为其前项和，若，，则 _____； _____． 13.若向量，满足，则的最小值是_____． 14.已知函数直线与曲线的两个交点，如图所示若，且在区间上单调递减，则 _____； _____． 15.已知函数，给出下列四个结论： 存在实数和，使函数没有零点； 存在实数，对任意实数，函数恰有个零点； 存在实数，对任意实数，函数不会恰有个零点； 对任意实数和，函数不会恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共6小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知函数，且． 求的值和的最小正周期； 求在上的单调递增区间． 17.本小题分 在中，． Ⅰ求的大小； Ⅱ若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件：边上中线的长为； 条件：； 条件：． 18.本小题分 某医学小组为了比较白鼠注射，两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选只健康白鼠做试验将这只白鼠随机分成两组，每组只，其中第组注射药物，第组注射药物试验结果如下表所示． 疱疹面积单位： 第组只 第组只 Ⅰ现分别从第组，第组的白鼠中各随机选取只，求被选出的只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率； Ⅱ从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取只抽血化验，求第组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望； Ⅲ用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，写出方差，的大小关系结论不要求证明 19.本小题分 已知椭圆：的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． Ⅰ求椭圆的方程及离心率； Ⅱ是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点证明：直线的斜率为定值． 20.本小题分 已知函数，． 若，求曲线在点处的切线方程． 若在处取得极值，求的极值． 若在上的最小值为，求的取值范围． 21.本小题分 对于由有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为定义变换，变换将集合变换为集合． Ⅰ若，求，； Ⅱ若集合有个元素，证明：“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”； Ⅲ若且，求元素个数最少的集合． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：因为，且， 所以， 解得， 所以 ， 即， 所以的最小正周期； 由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，． 17.解：Ⅰ因为，由正弦定理可得：， 在中，，， 可得， 因为，可得； Ⅱ选条件：边上中线的长为， 设边中点为，连接，则，， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得或舍去， 所以的面积为； 选条件：因 ... ...
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