山东省青岛市第三十九中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将直线 1： + 1 = 0绕点(0,1)逆时针旋转90°得到直线 2，则 2的方程是( ) A. + 2 = 0 B. + 1 = 0 C. 2 + 2 = 0 D. 2 + 1 = 0 2 2 2.已知双曲线 : + = 1，则“它的渐近线方程为 = ±2 ”是“它的离心率为√ 5”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.在正四面体 中，棱长为2，且 是棱 中点，则 的值为( ) 7 A. 1 B. 1 C. √ 3 D. 3 4.根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温(单位： ℃)记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有( ) A. 平均数小于4且中位数小于或等于3 B. 平均数小于4且极差小于或等于3 C. 平均数小于4且标准差小于或等于4 D. 众数等于6且极差小于或等于4 5. 为直线 = 2上一点，过 总能作圆 2 + 2 = 1的切线，则 的最小值( ) √ 3 √ 3 A. √ 3 B. C. D. √ 3 3 3 2 2 6.已知双曲线 与椭圆 : + = 1有公共焦点，且左、右焦点分别为 1， 2，这两条曲线在第一象限的交25 21 点为 ，△ 1 2是以 1为底边的等腰三角形，则双曲线 的标准方程为( ) 2 2 2 2 2 A. 2 = 1 B. = 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1 3 9 5 3 3 7.设动点 在棱长为1的正方体 1 1 1 1 1的对角线 1上， = ，当∠ 为 1 锐角时， 的取值范围是( ) 1 A. [0, ) 3 1 B. [0, ) 2 1 C. ( , 1) 3 1 D. ( , 1) 2 8.设 为坐标原点，直线 过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 且与 交于 ， 两点(点 在第一象限)， | |min = 4， 为 的准线， ⊥ ，垂足为 ， (0,1)，则下列说法正确的是( ) 第 1 页，共 8 页 A. = 4 B. | | + | |的最小值为2 C. 若∠ = ，则| | = 5 3 D. 轴上存在一点 ，使 + 为定值 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知 (2,2)， (1,0)， (3, 2)，且四边形 是平行四边形，则( ) A. 直线 的方程为 + 4 = 0 B. = (1,2)是直线 的一个方向向量 C. | | = 4 D. 四边形 的面积为3 10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如 图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于 [80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10，则( ) A. = 0.004 B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二，较大部分与全长的比 2 2 值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线 ： = 1( > > 2 2 0)的左右两顶点分别为 1， 2，虚轴上下两端点分别为 1， 2，左右焦点分别为 1， 2， 为双曲线任意 一条不过原点且不平行于坐标轴的弦， 为 的中点.设双曲线 的离心率为 ，则下列说法正确的有( ) √ 5+1 A. = B. 2 2 = C. 直线 1 2与双曲线 的一条渐近线垂直 D. | 1 2| | 1 2| = | | 2 1 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 第 2 页，共 8 页 12.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡， 发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有 200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有 人. 13.已知直线 1： + ... ...
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