安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题(合肥一模)(含答案)

安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题（合肥一模） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设，若为实数，则( ) A. B. C. D. 3.记为等差数列的前项和若，则( ) A. B. C. D. 4.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 5.已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 6.已知，则( ) A. B. C. D. 7.已知为圆上的动点不在坐标轴上，过作轴，垂足为，将绕轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段的长度为( ) A. B. C. D. 8.已知函数，则的值域为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有( ) A. 平面 B. C. 四面体的体积为定值 D. 存在点，使得平面平面 10.某同学两次实验得到的数据如下表实验一所得的样本相关系数为，关于的经验回归方程为实验二所得的样本相关系数为，关于的经验回归方程为，下列结论中正确的是( ) 实验一 实验二 参考公式：样本相关系数， A. B. C. D. 11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点对于“优美曲线”，则( ) A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有个顶点 C. 曲线与直线有个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.在的展开式中，的系数为 用数字作答． 13.袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下个小球的概率为 ． 14.已知抛物线的焦点为，准线为过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，若，则的面积是面积的 倍 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别是，，，已知B. 证明： 若为锐角三角形，求的取值范围． 16.本小题分 如图，在正三棱台中，，． 若，证明：平面 若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 已知函数，其中． 讨论的单调性 若函数有两个极值点，，证明：． 18.本小题分 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，点在点的左侧． 求曲线的方程 若直线与圆相切，且与曲线交于，两点点在轴左侧，点在轴右侧． (ⅰ)若直线与直线和分别交于，两点，证明： (ⅱ)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 19.本小题分 正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用设，为正整数若正整数序列满足，且，，则称为的一个部划分记为的所有部划分的个数． 计算：， 证明： 证明：． 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】证明：由正弦定理及，知， 即， 所以， 所以或， 因为，，所以，即． 解：由知，，所以，，故， 故． 16.【答案】解：如图所示，过点作，交于点， 易知四边形为平行四边形． 所以，，所以． 又，所以，即故， 同理可得． 又直线与相交，且直线与都在平面内， 所以平面B. 以的中点为原点，，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系取线段中点， ，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 故． 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 故， 所以，． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17.【答案 ... ...