10.1.2 两角和与差的正弦 第1课时 两角和与差的正弦 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系. 2.掌握两角和与差的正弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦公式 S(α+β) sin(α+β)= _____ α,β∈R 两角差的 正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=_____ α,β∈R |微|点|助|解| 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α,β都是任意角. (2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin (α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用. ①公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. ②公式的变形运用:变形运用涉及两个方面, 一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 2.利用公式统一角的方法 f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(a,b不同时为0),其中cos φ=,sin φ= . 基础落实训练 1.sin 105°的值为 ( ) A. B. C. D. 2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 ( ) A.- B.- C. D. 3.若sin=,则sin α+cos α= . 题型(一) 给角求值 [例1] (1)cos-sin= ( ) A. B. C. D. (2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°= ( ) A.- B. C. D.- (3)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α)= ( ) A.- B.- C. D. 听课记录: |思|维|建|模| 掌握两个解题技巧 (1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角. (2)注意公式的逆用或变形用. [针对训练] 1.sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°= ( ) A. B.- C.- D. 2.sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°= ( ) A.- B. C. D.- 3.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b= ( ) A. B.1 C.2 D.2sin 40° 题型(二) 条件求值 [例2] 已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值. 听课记录: [变式拓展] 1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值. 2.若本例条件“cos β=-”变为“cos(α+β)=-”,“α为第一象限角,β为第二象限角”变为“0<α<<β<π”,求sin β的值. |思|维|建|模| 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示: (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等. [针对训练] 4.已知α∈,cos α=,则sin= ( ) A. B. C. D. 5.若α,β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值为 ( ) A.- B. C. D. 题型(三) 三角公式的应用 [例3] 已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x.则下列判断正确的是 ( ) A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于点对称 听课记录: |思|维|建|模| 对形如sin α±cos α,sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系,运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式. [针对训练] 6.函数f=cos x-sin x的一个单调递增区间是 ( ) A. B. C. D. 7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是 . 第1课时 两角和与差的正弦 课前预知教材 sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β [基础落实训练] 1.D 2.A 3.解析:因为si ... ...
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