基本不等式的证明 同步练习(含答案)

3.2.1　基本不等式的证明 一、 单项选择题 1 (2024北京八十中期中)已知a>0，则a＋1＋的最小值为(　　) A. －1 B. 3 C. 4 D. 5 2 (2024高邮中学月考)若a，b，c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　) A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. a>c>b 3 (2024徐州月考)已知x>0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　) A. A≥B B. A≤B C. A>B D. A C. ＋>2 D. > 5 (2024诸暨中学月考)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的是(　　) A. B. C. D. 6 (2024南宁月考)近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，a≠b.已知甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，若甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别为m1，m2，则下列结论中正确的是(　　) A. m1＝m2 B. m1>m2 C. m12 B. 若a<0，则a＋≥－4 C. 若a>0，b>0，则＋≥a＋b D. 若a<0，b<0，则＋≥2 8 已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是(　　) A. > B. (a＋b)≥4 C. a＋b≥2 D. (a＋b)2≥2(a2＋b2) 三、 填空题 9 已知m＝a＋，其中 a>2，n＝4－b2，其中b≠0，则m，n之间的大小关系是_____． 10 (2024上海世外中学期中)已知a为正数，比较大小：_____4. 11 若00，b>0，c>0，求证： (1) ＋＋≥6； (2) a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc. 13 (2024广州黄广中学等三校联考) (1) 已知a>b>0，c； (2) 已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz. 3.2.1　基本不等式的证明 1. D　由基本不等式可得a＋1＋＝a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立．故a＋1＋的最小值为5. 2. C　因为a，c均为正数，且a≠c，所以a2＋c2>2ac.又a2＋c2＝2bc，所以2bc>2ac.因为c>0，所以b>a，故排除A，B，D. 3. A　因为x>0，A－B＝x－2＋≥2－2＝0，所以A≥B，当且仅当x＝1时，等号成立． 4. C　因为a，故A错误；因为ab2，即b2－a2<0.又ab>0，则－＝<0，所以<，故B错误；因为a0，>0，且≠，则＋>2＝2，故C正确；因为a0，所以<，故D错误． 5. C　因为a，b为互不相等的正实数，由基本不等式可得a2＋b2>2ab，则2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以>，则>>.由基本不等式可得<＝，所以>>>，所以四个数中最大的是. 6. C　由题意，得m1＝＝≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，m2＝＝≥，当且仅当a＝b时，等号成立．又a≠b，所以m1<0，b>0，所以a＋b≥2，所以(a＋b)≥2ab，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立，故A错误，C正确；对于B，因为a>0，b>0，(a＋b)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于D，(a＋b)2－2(a2＋b2)＝－a2＋2ab－b2＝－(a－b)2≤0，即(a＋b)2≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时，等号成立，故D错误．故选BC. 9. m>n　因为a>2，所以a－2>0，又m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以n＝4－b2<4.综上，m>n. 1 ... ...