1.2 空间向量基本定理 学案设计 学习目标 1.经历空间向量基本定理的形成过程,了解空间向量基本定理及其意义. 2.在简单问题中学会选择恰当的基底表示任意向量. 3.体验向量方法在解决立体几何问题中的作用. 自主预习 1.空间向量基本定理 定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 . 其中,把{a,b,c}叫做空间的一个 ,a,b,c都叫做 .空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 思考:空间向量基本定理中,有序实数组(x,y,z)为什么是唯一的 2.单位正交基底与正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都为 ,那么这个基底叫做 ,常用 表示. (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行 . 课堂探究 [导入新课] 前面我们学习了空间向量的有关概念,并学习了空间中三个向量共面的充要条件,即:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb. 问题1:空间向量共面定理的本质就是平面向量基本定理,揭示了向量的分解与合成.请用图形语言表示平面向量基本定理. 问题2:在△ABC中,设M是BC的中点,试用表示. 问题3:在空间向量中,三个非零向量有哪两种位置关系 [讲授新课] 探究一:如图所示,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量p=,怎样用i,j,k表示p呢 探究二:在空间中,如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的i,j,k,你能得出类似的结论吗 小组交流: 1.什么是空间向量的基底 它有什么作用 2.空间向量的基底是否唯一 如果不唯一,该选择怎样的向量作为基向量呢 3.基底与基向量是同一概念吗 有何区别与联系 4.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,从a,b,c中选哪一个向量,一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一个基底 【学以致用】 例1 若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底 例2 如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量表示. 例3 在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点. 求证:MN⊥AC1. 核心素养专练 1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,则能使向量成为空间一个基底的关系是( ) A. B. C. D.=2 3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{}为基底,若=x+y+z,则x,y,z的值是( ) A.x=y=z=1 B.x=y=z= C.x=y=z= D.x=y=z=2 4.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,若以{}为基底,则= . 5.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x= ,y= . 6.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'和DC'相交于点O,连接AO,求证AO⊥CD'. 参考答案 自主预习 1.p=xa+yb+zc 基底 基向量 思考:提示 方法一:如果p=xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c,可推出x=x',y=y',z=z',这就说明了有序实数组(x,y,z)是唯一的. 方法二:平移向量a,b,c,p使它们共起点,以p为体对角线,在a,b,c方向上作平行六面体,易知这个平行六面体是唯一的,因此p在a,b,c方向上的分解是唯一的,即有序实数组(x,y,z)是唯一的. 2.(1)两两垂直 1 单位正交基底 {i,j,k} (2)正交分解 课堂 ... ...
~~ 已预览到文档结尾了 ~~
