2.1.1 倾斜角与斜率 学案设计(一) 学习目标 1.了解确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 自主预习 1.确定一条直线的条件 确定一条直线的条件是 或 和一个 . 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向 ,其他直线 的方向为这条直线的方向. 2.直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴 定义 以 为基准,x轴 与直线 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 取值范围 3.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母k表示,即k= . 4.斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 . 5.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) 课堂探究 探究一 直线的倾斜角 问题1:请同学们根据直线的倾斜角的定义,找出下列直线的倾斜角,做好标注. 练习1 下列图中标出的直线的倾斜角对不对 如果不对,请同学们找出正确的直线的倾斜角. 问题2:在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α: (1)已知直线l经过点O(0,0),P(,1),α与点O,P的坐标有什么关系 (2)类似地,如果直线l经过点P1(-1,1),P2(,0),α与点P1,P2的坐标又有什么关系 (3)如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α与P1,P2的坐标有什么内在联系 探究二 直线的斜率 练习2 已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率: (1)α=30°;(2)α=120°. 练习3 已知下列直线的斜率,求直线的倾斜角: (1)k=0;(2)k=. 问题3:当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时,斜率如何变化,为什么 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) 例1 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 例2 已知直线l的斜率k的取值范围为[-1,1],求直线l的倾斜角α的取值范围. 问题4:直线P1P2上的方向向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量,那么直线的方向向量与直线的斜率有什么关系呢 探究结果:1.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k= ; 2.如果直线l的斜率为k,则它的一个方向向量的坐标为 . 核心素养专练 1.若A,B两点的横坐标相等,则直线AB的倾斜角和斜率分别是( ) A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在 2.已知直线l的斜率的绝对值等于,则直线l的倾斜角为( ) A.60° B.30° C.60°或120° D.30°或150° 3.若斜率为2的直线经过点A(3,5),B(a,7),C(-1,b),则a,b的值为( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3 4.已知直线l过定点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(-4,5)为端点的线段(包含端点)没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(5,+∞) B.(-∞,-1]∪[5,+∞) C.(-1,5) D.[-1,5] 5.已知经过A(1,3),B(-4,13)两点的直线的方向向量为(2,k),则k的值为 . 6.已知a,b,c是两两不等的实数,则经过P(-b,-b-c),Q(a,a-c)两点的直线l的倾斜角为 . 7.若A(3,3),B(a,0),C(0,b)(其中a·b≠0)三点共线,则= . 8.已知直线l的斜率为k=1-m2(m∈R),求直线l的倾斜角的取值范围. 9.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线. 参考答案 自主预习 1.两点 一点 方向 向右 向上 2.相交 x轴 正向 l向上 0° 0°≤α<180° 3.正切值 tan α 4.k= 5.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率(范围) k=0 k>0 不存在 k<0 课堂探究 问题1:略 练习1 (1)不对,应该是与x轴正向所成角; (2)不对,应该是x轴正向与直线 ... ...
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