1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学案设计(一) 学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示,并会判断两个向量是否共线或垂直; 2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题. 自主预习 知识点一:空间向量运算的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 λa= 数量积 a·b= 知识点二:空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行(a∥b) a∥b(b≠0) a=λb 垂直(a⊥b) a⊥b a·b=0 (a,b均为非零向量) 模 |a|== 夹角公式 cos
== 知识点三:向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 (1)= ; (2)dAB=||= . 课堂探究 [导入新课] 问题1:上一节我们学习了空间直角坐标系的概念,能够利用空间直角坐标系,借助空间向量基本定理写出空间向量的坐标.那么在此基础上能否借助已经学过的平面向量的相关知识得出空间向量运算的坐标表示,并给出证明呢 请大家回顾平面向量运算的坐标表示. [讲授新课] 问题2:通过上面对平面向量坐标运算的复习,大家类比到空间向量的坐标能够得到对应的结论吗 问题3:面对空间向量坐标运算的数量积表达式,我们该如何证明呢 【迁移应用】 例1 设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)⊥(a-3b),求k. 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥DA1. 例3 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,D1F1=C1D1. (1)求AM的长; (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 核心素养专练 1.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( ) A.cos=- B.a⊥b C.a∥b D.|a|=|b| 2.已知空间向量a=(0,2,1),b=(0,-1,1),则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是( ) A.(0,1,2) B.(0,-1,-2) C.0, D.0,-,- 3.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( ) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 4.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2). (1)若a∥b,分别求λ与m的值; (2)若|a|=,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a. 5.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点. (1)求证:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成角的余弦值; (3)求FH的长. 参考答案 自主预习 知识点一:(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3),λ∈R a1b1+a2b2+a3b3 知识点二: a1b1+a2b2+a3b3=0 知识点三:(a2-a1,b2-b1,c2-c1) 课堂探究 问题1:平面向量坐标运算: 已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),写出下列向量的坐标表示. a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),λa=(λa1,λa2),a·b=a1b1+a2b2. 当b≠0时,a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2(λ∈R), a⊥b a1b1+a2b2=0,|a|=. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|=(平面内两点间的距离公式). cos=. 问题2:1.空间向量运算的坐标表示: 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则: a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R),a·b=a1b1+a2b2+a3b3. 2.空间中平行向量、垂直向量满足的坐标关系式: 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则: 当b≠0时,a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R), a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0. 3.空间向量的模长公式: ... ... 
