第一章空间向量与立体几何本章小结 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算和数量积运算. 2.了解空间向量基本定理及其意义. 3.了解空间直角坐标系,掌握空间向量及其运算的坐标表示. 4.理解直线的方向向量和平面的法向量,掌握判断空间中直线、平面平行和垂直以及求距离和角度的向量方法. 5.体会平面向量和空间向量的共性和差异,体会向量方法和综合几何方法的共性和差异. 自主预习 1.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是( ) A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点O,有,则P,B,A,C四点共面 C.已知{a,b,c}是空间的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一组基底 D.若a·b>0,则
是锐角 2.已知三棱锥O-ABC中,M为棱OA的中点,点G为△ABC的重心,设=a,=b,=c,则向量=( ) A.-a+b+c B.a-b-c C.a+b+c D.-a+b-c 3.(多选题)已知v1,v2分别为直线l1,l2的方向向量(l1,l2不重合),n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则下列说法中,正确的是( ) A.v1∥v2 l1⊥l2 B.v1⊥v2 l1⊥l2 C.n1∥n2 α⊥β D.n1⊥n2 α⊥β 4.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( ) A. B. C. D. 课堂探究 巩固型题组: 探究一:空间向量的线性运算 1.已知a=(1,x,3),b=(-2,4,y),若a∥b,则x-y= . 2.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则|b|= . 变式训练 1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=( ) A.1 B. C. D. 2.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 探究二:利用方向向量和法向量证明平行与垂直问题 1.根据下列条件,判断相应的线、面位置关系: (1)直线l1与l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)直线l1与l2的方向向量分别是a=(-2,1,4),b=(6,0,3); (3)直线l的方向向量,平面α的法向量分别是a=(0,-8,12),u=(0,2,-3); (4)直线l的方向向量,平面α的法向量分别是a=(0,4,6),u=(0,3,-2); (5)平面α与β的法向量分别是u=(1,-1,2),v=3,2,-; (6)平面α与β的法向量分别是u=(2,-2,4),v=(1,-1,2). 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点. 求证:(1)A1O⊥平面GBD; (2)平面A1OG⊥平面GBD. 变式训练 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l与α相交 2.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是 . 3.设平面α的法向量为(1,3,-2),平面β的法向量为(-2,-6,k),若α∥β,则k= . 4.若直线l的方向向量为a=(2,2,-1),平面α的法向量为μ=(-6,8,4),则直线l与平面α的位置关系是 . 探究三:利用空间向量求空间角 1.如图,在三棱锥A-BOC中,AO,OB,OC两两互相垂直,D,E分别为棱BC,AC的中点,F在棱AO上,且满足OF=OA,已知OA=OC=4,OB=2. (1)求异面直线AD与OC所成角的余弦值; (2)求直线AD与平面AOC所成角的正弦值; (3)求二面角C-EF-D的余弦值. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 . 变式训练 1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A. B.- C. D.- 2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则 ... ... 
