1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 学案设计 学习目标 1.能够描述直线的方向向量和平面的法向量的概念. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量,会求一个平面的法向量. 自主预习 1.点的位置向量 如图,在空间中,我们取一定点O作为 ,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示,向量称为点P的 . 2.空间中直线的向量表示式 如图,a是直线l的方向向量,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使= ,① 取=a,代入①式,得 = .② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 3.平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使= . 把上式称为空间平面ABC的向量表示式. 4.平面的法向量 如图,直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的 . 给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 课堂探究 探究一:通过前几节课的学习,同学们已经初步体会了运用空间向量解决立体几何问题.那利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么 探究二:如何用向量表示空间中的一个点P 探究三:如何用向量表示空间中的直线l 探究四:如何用向量表示空间中的平面α 探究五:一个定点和一个定方向能否确定一个平面 如果能确定,如何用向量表示这个平面 【迁移应用】 例题 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线CD的方向向量; (2)求平面BCC1B1的法向量; (3)求平面MCA1的法向量. 核心素养专练 1.(多选题)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 2.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的法向量的是( ) A.1,1, B.(1,,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1) 3.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是( ) A.(1,-4,2) B.,-1, C.-,1,- D.(0,-1,1) 4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= . 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD,且PD=AD,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PAB的一个法向量. 参考答案 自主预习 1.基点 位置向量 2.+ta +t 3.+x+y 4.法向量 课堂探究 探究一: 答案 把点、直线、平面用向量表示出来. 探究二: 用向量表示点P 探究三: =ta(t∈R) 探究四: =xa+yb +x+y 探究五: 经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的.直线l⊥α,直线l的方向向量a叫做α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|·a=0}. 例题 解 (1)依题意可知,D(0,0,0),C(0,4,0),所以直线CD的方向向量是=(0,4,0).可以看出,以C为起点,D为终点的向量也是直线CD的方向向量. 而(0,1,0)是与(0,4,0)共线的向量,所以也是直线CD的方向向量.实际上,与(0,4,0)共线的非零向量(0,a,0)都是直线CD的方向向量. (2)因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有DC⊥平面BCC1B1,所以直线DC的方向向量就是平面BCC1B1的法向量,即=(0,4,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 由于D1C1⊥平面BCC1B1,所以直线D1C1的方向向量就是平面BCC1B1的法向量,即=(0,4,0)是平面BCC1B1的一个法向量.所有与(0,4,0)共线的向量都是平面BCC1B1的法向量. (3)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,所以M(3,2,0),C(0,4,0),A1(3,0,2).因此=(-3,2,0),=(0,-2,2). ... ...
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