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课件网) 第5章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 人教A版2019高中数学必修第一册 两角差的余弦公式 【尝试】尝试用和(差)角公式、二倍角公式两个工具进行三角恒等变换 （1）试用cosα表示 ， , 解：在倍角公式 中，用α代替2α，用 代替α，得 所以 在倍角公式 中，用α代替2α，用 代替α，得 所以 作商，得 两角差的余弦公式 【半角公式】刚才的结果还可以表示为： 以上三个公式称为半角公式，符号由α所在象限决定 【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角； 1 加或者减余弦，根号分母都是 2 . 【问题】 与 之间有什么关系？ 【解答】 两角差的余弦公式 【万能公式】万能公式是半角的正切与一倍角之间的互换公式： 有了万能公式，只需要知道一个角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值. 不同的三角函数不仅有结构形式的差异，而且还会存在所包含的角，以及这 些角的三角函数种类方面的差异，所以在进行三角恒等变换时，首先要寻找各个 式子里的角的关系，再来选取适当的公式，这是三角恒等变换的特点.(也就是要背) 【例1】求证： 【证明】(1)因为 (1)+(2)得 即 (2) 由(1)有 设 ，则有 代入①中，有 换元法 【例2】已知 ，且 ，求 和 的值. 【解】∵ ，∴ ∴ ∴ 【例3】已知一个等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的底角的正切. 【解】设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有 由题意知 ， 所以 所以 【例4】求下列函数的周期、最大值和最小值. 【解】 辅助角公式 即周期为2π,最大值为2,最小值为-2. 令 ，则 ，所以 即 ，周期为2π，最大值为5，最小值为-5 积化和差公式与和差化积公式 ①积化和差公式 积化和差公式与和差化积公式 ②和差化积公式 【题】化简： ①三角函数式的化简 【解】∵ ，∴ 又∵ ，且 ∴原式= ∵ ，∴ ，所以 ，原式= 常见题型汇总 【题】已知α为钝角，β为锐角，且 ， ，求 的值. ②三角函数式的求值 【解】因为α为钝角，β为锐角， ， ，所以 所以 因为 ,所以 ，即 所以 常见题型汇总 【题】已知 ,求证: ③三角函数式的证明 【解】由题意有 ；②2-①2，得 常见题型汇总 【题】已知在△ABC中， ,求证：△ABC是直角三角形 ④在三角形中的应用 【证明】由题意有 ，∴ 常见题型汇总 利用和差化积公式，得 又∵ ，∴ ∵ ，∴ ，两边平方，得 即 ，∴ ∴ ，即 或 . A或者B有一个为直角 ∴△ABC是直角三角形 THANKS “ ”
