2025 年 10 月高三联考 强化卷 数 学 本试卷满分 150 分 ,考试时间 120 分钟. 一、选择题 :本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A = {x | y = x- 1 } ,B = {y | y = 2-x2 } ,则 A ∩B = ( ) A. [ 1 ,+ ∞ ) B. [0 ,2] C. D. [1 ,2] 2. 设 a∈R ,若-为实数 ,则 a = ( ) A. -2 D. 2 3. 已知向量 a ,b 满足 a+2b = (3 ,1) ,2a-3b = (- 1 ,2) ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) 4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮( 如图所示) ,大轮有 50 个齿 ,小轮有 15 个齿 ,小轮每分钟转 10 圈 ,若大 轮的半径为 2 cm ,则大轮每秒转过的弧长是 ( ) A. 12π cm B. 6π cm 5. 已知 Sn 为等比数列{ an } 的前 n 项和 ,若 a4 = 4a3 -4a2 ,则 = ( ) A. 5 B. 9 C. -9 D. -5 6. 定义在 R 上的奇函数 f( x) 满足 f( x) = f( 4-x) ,且 f(x) 在[ - 2 ,2] 上单调递增. 设 = f(- 13) ,则 ( ) A. a
4+i C. 若 | z | = 1 ,则 z= ±1 或 z= ±i D. 若 1 ≤ | z | ≤ 2 ,则点 Z 的集合所构成的图形的面积为 π 10. 已知函数f(x)= Acos(ωx+φ)(A>0 ,ω>0 , | φ | <π)的图象如图所示 ,则下列结论正确的是 ( ) A. ω = 2 C. 函数f(x) 在区间上单调递增 D. 当 x ∈ [0 ,2π] 时 ,函数 有 8 个零点 11. 已知函数f(x) 满足 :对任意 x,y∈R ,xf(y)+yf(x) =f(xy) ,且当 00. 下列说法正确的是 ( ) A.f(0) +f(1) = 0 B.f(x) 为偶函数 C. 当 | x | >1 时 ,xf(x)<0 D.f(x) 在(1 ,+ ∞ ) 上单调递减 三、填空题 :本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,共 15 分. 12. 已知函数f(x) = 3x ,则f( log32) = . 13. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,E ,F 分别为 AD ,AB 上的点 ,当△AEF 的周长为 4 时 , △AEF 面积的最大值为 . 14. 已知同一平面内的单位向量 e1 ,e2 ,e3 ,则(e1 -e2 ) ·e3 的最小值是 ;若 e1 +e2 与 e3 不共线 , | e1 +e2 + e3 | = 1 ,x ,y,z∈R ,xe1 +ye2 +ze3 = 0 ,x+y+z= 2 025 ,则+ + = . 四、解答题 :本题共 5 小题 ,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知函数f(x)= x( a+ln x) , 曲线 y =f(x) 在点( e ,f( e) ) 处的切线与直线 y = 4x- 1 平行. (1) 求 a 的值 ; (2) 求f(x) 的极值. 数学 第 2 页( 共 4 页) 16. (15 分) 已知数列{ an } 的前 n 项和为 Sn ,Sn = 2an -2. (1) 求{ an } 的通项公式 ; (2) 在{ an } 相邻两项中间插入相邻两项的等差中项 ,求所得新数列{ bn } 的前 2n 项和 T2n . ( π 4 , )17. (15 分) 如图 , △AOD 与△BOC 存在对顶角∠AOD = ∠BOC = AC = 2 ,BD = 2 2 ,且 BC =AD. (1) 证明 :O 为 BD 中点 ; (2)若 5 sin 2A+cos B = 5 ,求 OC 的长. 数学 第 3 页( 共 4 页) 18. (17 分) 设函数f(x) = ax +ka-x ( k ∈R ,a>0 ,a≠1) . (1) 当 k = 4 时 ,求f(x) 的最小值. (2) 讨论函数f(x) 的图象是否有对称中心. 若有 ,请求出 ;若无 ,请说明理由. 当 k = 0 时 都有求实数 a 的取值集合. 19. (17 分) 如果数列{ an } 满足 a1 = 0 , | an -an- 1 | =p(p 为常数 ,n≥2 ,n ∈N) ,则称数列{ an } 为 α 数列 , 已知项数 为 n 的数列{ an } 的所有项的和为 Tn , ... ... 