2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期10月质量检测数学试卷(含答案)

2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期 10月质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数 满足 = ( 1)，则| | =( ) A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 2 2 .已知椭圆 的方程为 2 + 2 = 1，则椭圆 的离心率为( ) A. 1 2 3 12 B. 2 C. 2 D. 3 3.如图，在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点．若 = ， = ， 1 = ，则 下列向量中与 相等的向量是( ) A. 1 1 1 1 2 2 + B. 2 2 + C. 12 + 1 2 + D. 1 + 1 2 2 + 4.已知直线的一个方向向量为(1,2)，其倾斜角为 ，则 2 2 cos2 =( ) A. 3 7 7 35 B. 5 C. 5 D. 5 5.已知 1， 2，…， 的方差为 3，则 2 1 + 1，2 2 + 1，…，2 + 1 的方差为( ) A. 6 B. 7 C. 12 D. 18 6.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 3 + 2 + 1 = 0 和 3 + 2 + 4 = 0，另一组对边所在的直 线方程分别为 4 6 + 1 = 0 和 4 6 + 2 = 0，则| 1 2| =( ) A. 32 B. 3 13 13 C. 6 13 13 D. 6 7.“ 2 ≤ < 2”是“直线 = + 与曲线 = 4 2恰有 1 个公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，空间中的点 满足： 1 = 1 + 1 1，其中 ∈ ， ∈ ， 且 = 2，则点 的轨迹的长度为( ) 第 1页，共 10页 A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 3 2 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆锥的顶点为 ， 为底面直径， 是面积为 1 的直角三角形，则( ) A. 1该圆锥的母线长为 2 B.该圆锥的体积为3π C.该圆锥的侧面积为π D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为 2π 10.下列说法正确的是( ) A.若直线 2 + ( + 1) + 4 = 0 与直线 + 3 2 = 0 平行，则 = 3 B. ∈ (0,1)，都有原点 在圆( )2 + ( 1)2 = 2 外 C.一条光线从点 ( 2,3)射出，经 轴反射后，与圆 ：( 3)2 + ( 2)2 = 1 相切，则反射后光线所在的 直线方程为 4 3 1 = 0 D.圆 2 + 2 + 2 + 8 8 = 0 与圆 2 + 2 4 4 2 = 0 的公切线恰有 2 条 11.已知 2 + 2 = 4，则( ) A. 2 + 10 1 ∈ ( ∞,2] ∪ 3 , + ∞ B. 2 + 2 6 + 10 的最大值为 26 C. |3 + 4 12| 2的最小值是5 D. 2 13 6 20 8 的最大值是 2 10 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知 ， 是相互独立事件，且 ( ) = 0.4， ( ) = 0.3，则 ( ∪ ) = ． 13.直线 1： 2 = 0 与直线 2： + + 2 = 0 交于点 ， 是实数， 为坐标原点，则| |的最大 值是 ． 14 2 2 .已知椭圆 ：16 + 12 = 1 的左右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，过 1且垂直于 2的直线与 交于 、 两点，则△ 的周长为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是 文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛， 从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成 六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图． 第 2页，共 10页 (1)求频率分布直方图中 的值； (2)求样本成绩的平均数和众数； (3)用分层抽样的方法在分数落在[60,80)内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一个总 体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在[70,80)内的概率． 16.(本小题 15 分) 已知 ， cos ， 分别是△ 的内角 ， ， 的对边，且 = 2 cos ． (1) 求 ； (2)若 cos = 14，△ 的面积为 15，求△ 的周长． 17.(本小题 15 分) 在如图所示的 ... ...